Moderni reaalianalyysi (syksy 2005), harjoitustehtävät

1. Harjoitukset (13.9.2005).
ps-tiedosto (mora05h1.ps) | pdf-tiedosto (mora05h1.pdf)

1. luentoviikolla (5.9 ja 7.9) käsiteltiin: Mitta ja ulkomitta, metriset ulkomitat, aloitettiin mittojen säännöllisyyden tarkastelu.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora1ratk.ps | mora1ratk.pdf


2. Harjoitukset (20.9.2005).
ps-tiedosto (mora05h2.ps) | pdf-tiedosto (mora05h2.pdf)

2. luentoviikolla (12.9 ja 14.9) käsiteltiin: Mittojen säännöllisyys, mittojen yksikäsitteisyys, mittojen laajentaminen.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora2ratk.ps | mora2ratk.pdf


3. Harjoitukset (27.9.2005).
ps-tiedosto (mora05h3.ps) | pdf-tiedosto (mora05h3.pdf)

3. luentoviikolla (19.9 ja 21.9) käsiteltiin: Tulomitta, Fubinin lause (alku).

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora3ratk.ps | mora3ratk.pdf


4. Harjoitukset (4.10.2005).
ps-tiedosto (mora05h4.ps) | pdf-tiedosto (mora05h4.pdf)

4. luentoviikolla (26.9 ja 28.9) käsiteltiin: Fubinin lause, Hausdorffin mitan ja dimension perusominaisuudet.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora4ratk.ps | mora4ratk.pdf


5. Harjoitukset (11.10.2005).
ps-tiedosto (mora05h5.ps) | pdf-tiedosto (mora05h5.pdf)

5. luentoviikolla (3.10 ja 5.10) käsiteltiin: n-ulotteisten Lebesguen ja Hausdorffin mittojen yhteys, Cantor-joukon Hausdorff-dimensio.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora5ratk.ps | mora5ratk.pdf


6. Harjoitukset (18.10.2005).
ps-tiedosto (mora05h6.ps) | pdf-tiedosto (mora05h6.pdf)

Vihjeitä:
ps-tiedosto (mora05h6v.ps) | pdf-tiedosto (mora05h6v.pdf)

6. luentoviikolla (10.10 ja 12.10) käsiteltiin: Cantor-joukon Hausdorff-dimensio, esimerkkejä 1-joukoista, peitelauseita, ylä- ja alatiheydet.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora6ratk.ps | mora6ratk.pdf


7. Harjoitukset (1.11.2005).
ps-tiedosto (mora05h7.ps) | pdf-tiedosto (mora05h7.pdf)

Vihjeitä:
ps-tiedosto (mora05h7v.ps) | pdf-tiedosto (mora05h7v.pdf)

7. luentoviikolla (17.10 ja 19.10) käsiteltiin: Ylä- ja alatiheydet, Rieszin esityslause.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora7ratk.ps | mora7ratk.pdf


8. Harjoitukset (8.11.2005).
ps-tiedosto (mora05h8.ps) | pdf-tiedosto (mora05h8.pdf)

8. luentoviikolla (31.10 ja 2.11) käsiteltiin: Rieszin esityslause loppuun, mittojen heikko suppeneminen, mittojen kompaktisuus, massajaon periaate ja Frostmanin lemman muotoilu.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora8ratk.ps | mora8ratk.pdf


9. Harjoitukset (15.11.2005).
ps-tiedosto (mora05h9.ps) | pdf-tiedosto (mora05h9.pdf)

9. luentoviikolla (7.11 ja 9.11) käsiteltiin: Frostmanin lemman todistus, metrisen avaruuden osajoukkojen všlinen Hausdorff-etäisyys, itsesimilaarin fraktaalin määritelmä.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora9ratk.ps | mora9ratk.pdf


10. Harjoitukset (22.11.2005).
ps-tiedosto (mora05h10.ps) | pdf-tiedosto (mora05h10.pdf)

10. luentoviikolla (14.11 ja 16.11) käsiteltiin: Avoimen joukon ehto, itsesimilaarin fraktaalin Hausdorff-dimensio.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora10ratk.ps | mora10ratk.pdf


11. Harjoitukset (29.11.2005).
ps-tiedosto (mora05h11.ps) | pdf-tiedosto (mora05h11.pdf)

11. luentoviikolla (21.11 ja 23.11) käsiteltiin: Itsesimilaarin fraktaalin piirtäminen satunnaiskävelyllä, Rieszin kapasiteetti.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora11ratk.ps | mora11ratk.pdf


Viikolla 49 ei ole laskuharjoituksia. Seuraavat (ja viimeiset) laskuharjoitukset on 13.12.

12. luentoviikolla (28.11 ja 30.11) käsiteltiin: Besicovitchin peitelause, Vitalin peitelause R^n:n Radon-mitoille, R^n:n Radon-mittojen derivointi (alku).


12. Harjoitukset (13.12.2005).
ps-tiedosto (mora05h12.ps) | pdf-tiedosto (mora05h12.pdf)

13. luentoviikolla (5.12 ja 7.12) käsiteltiin: Radon-mittojen derivointi, merkkimitat.

Malliratkaisut (Aleksi Vähäkangas):
mora12ratk.ps | mora12ratk.pdf


ilkka.holopainen@helsinki.fi