Esimerkki 1. Runkokäyrien ja yksittäisen puun tilavuusmallien laatiminen

Olkoon MARV1-monisteen liitteen 1.2 puu esimerkkinä. Kyseinen mänty on mitattu 1986 Hyytiälässä.

Piirretään sen kuoren päältä mitatuista läpimitoista runkokäyrä:
Mittaukset näyttävät melko loogisilta. 0.53 metrin korkeuden havainto tosin hieman epäilyttää, mutta annetaan sen olla, kun syytä havainnon hylkäämiseenkään ei ole. Puu on 17.34 metriä pitkä. Laasasenahon runkokäyrät ennustavat suhteellista läpimittaa d_x/d._2h, eli runkokäyrä kertoo, kuinka paljon läpimitta suhteellisesti poikkeaa läpimitasta 20 %:n korkeudella.Esimerkin puulla 20 %:n korkeus vastaa 3.47 metrin korkeutta. Sieltä ei puuanalyysissä ole runkoa katkaistu, mutta arvioidaan (interpoloidaan) tuo läpimitta samalla tekniikalla kuin Laasasenho runkokäyriä laatiessaan, eli kuutiosplini-funktioilla.
 

Kun havainnot tasoittaa splini-funktioilla, saadaan ao. kuvan mukainen 'tasoituskäyrä'. (MATLAB)


3.47 metrin korkeudella läpimitta splineillä interpoloiden on 18.97 cm, mikä tietysti tuntuu hieman epäloogiselta, kun se mittausten mukaan on 18.9 cm neljässä metrissä. Tuo virhe johtuu siitä, että splinitasoitus pyrkii 'kauniisti' mukailemaan havaintoparvea, ja niin tehdessään mutkii pisteestä toiseen. Hyväksytään interpolaatio kuitenkin.

Laasasenahon runkokäyräpolynomissa on kahdeksan termiä. Em. läpimittojen suhdetta ennustetaan suhteellisen korkeuden potensseilla. Suhteeellinen korkeus on määritelty niin, että tyvellä se on 1 ja latvassa 0. [kaava 1]:
 
 
 

on suhteellisen korkeuden muuttuja, joka saa siis puun tyvellä (syntypisteen / maanpinnan tasolla) arvon 1 ja latvassa arvon 0 eli l on korkeus rungolla, joka saa arvoja nollasta arvoon h. h siis on puun pituus.
Laasasenahon polynomin kertoimet {b₁,b₂,..,b₈}pitää ratkaista kyseiselle puulle. Tuumaillaanpa niiden merkitystä ensin.

Kun ollaan tyvellä, saavat kaikki (1-l/h)- muuttujat arvokseen yksi. Jotta malli toimisi, pitää kertoimien summan b₁+ b₂+...+ b₈ vastata tyven paksuuden ja 20 %:n korkeuden paksuuden suhdetta. (joka on noin 1.5.) Latvaa kohti mentäessä (1-l/h) -muuttujat lähestyvät nollaa ja latvassa ovat nolla, joten malli toimii myös siellä, koska läpimitta d_l menee nollaan latvassa. Polynomissa on sekä parittomia (1, 3, 5, 13, 21) että parillisia (2, 8, 34) potensseja. Termi, jonka potenssi on 34, kuvaa rungon muodon muutosta vain aivan tyvellä, koska mikrä tahansa luku nollan ja yhden välillä korotettuna 34:een potenssiin on hyvin pieni luku (infiniittisen lähellä nollaa), ellei olla aivan lähellä lukua yksi (eli tyvellä). Alhaiset potenssitermit 1-8 määräävät yleisesti runkokäyrän kulun ja korkeat termit (13,21,34) ohjailevat kulkua vain aivan tyvellä, jossa niiden arvot ovat jotain muuta kuin äärimmäisen lähellä nollaa.

Regressioanalyysillä ratkaisu (PNS-estimaatit):

Tehdään splini-tasoitetulta runkokäyrältä 100 kpl havaintoja tasavälein selitettävästä muuttujasta (suhteellinen läpimitta) eri korkeuksilta (Y-muuttuja). Lasketaan näiden sadan korkeuden potenssit 1,2,3,5,8,13,21 ja 34. Tehdään niistä selittäviä muuttujia (X_i , kahdeksan kpl).

Ratkaistaan lineaarisen yhtälön [kaava 2]: Y = b₁X¹ + b₂X² + b₃X³+...+b₈X³⁴ kertoimet. Esimerkkipuulle ne ovat:

b₁₌2.0646,
b₂₌0.9644,
b₃₌-5.3643,
b₄₌8.4354,
b₅₌-11.1002,
b₆₌11.8042,
b₇₌-7.8388,
b₈₌2.7065

Kertoimien summa on 1.6718, mikä tarkoittaa sitä, että runkokäyrä ennustaa tyven olevan 1.67 kertaa paksumpi kuin 20 %:n korkeuden.

Piirretään polynomirunkokäyrä ja havaittujen läpimittojen kautta kulkeva runkokäyrä.
Kuvassa sileämpi käyrä vastaa laskettua polynomia ja 'kulmikkaampi' kulkee mittaushavaintojen kautta. Polynomi toteuttaa ehdon '20 %:n korkeudella läpimittasuhde on 1'.
(Huom X-akseli käännetty Y-akseliksi.)
 

On saatu yhdellä puulla aikaiseksi runkokäyrä. Jos nyt tehdään oletus, että kaikki Hyytiälän männyt ovat riittävällä tarkkuudella kyseisen männyn 'muotoisia', voidaan laatia 'tilavuusmalli'"
 

Lasketaan tilavuus esim. puulle, jonka läpimitta rinnankorkeudelta on 16 cm ja pituus 14 m.

Ratkaistaan ensin 20 %:n korkeus. Se on 2,8 m. Sen ja 1,3 metrin korkeuden läpimitan suhde on polynomilta ratkaistuna 1.164. Näin ollen 2,8 metrin korkeudella läpimitta on

  (Käänteisluku, koska d_l tiedosssa ja ratkaistaan d_.2h -muuttujaa) Nyt voidaan laskea tilavuus :

     [kaava 3]

Yllä on pyörähdyskappaleen tilavuusintegraalin lauseke. Kaava muistuttaa lukiomatematiikasta tuttua pyörähdyskappaleen integraalia. Koska runkokäyrä kuvaa rungon suhteellista muutosta, jolla ei ole mitään mittayksikköä, tarvitaan lausekkeessa tekijät d² [m²] ja h [m], jotta vastaukseksi saadaan haluttua yksikköä [m³] oleva luku. f(x) on runkokäyrä. x on integroimismuuttuja eli suhteellinen korkeus tyveltä latvaan. x korvaa siis lausekkeen:

Kahdeksan termisen polynomin toisen potenssin laskeminen on paperilla työlästä puuhaa. Potensseista 34, 21,...,1 kertyy erilaisia sekatermejä yhteensä 30 kpl ja korkeimman termin asteluku nousee 68:een (34+34). Kun tämä korkea-asteinen ja moniterminen polynomi vielä integroidaan, nousevat asteluvut vielä yhdellä.

hmm....integraali...

Otetaan harjoituksen vuoksi tähän väliin johto kartion kaavalle: v = 1/3*g*h. Sitähän käytettiin latvakappaleiden tilavuuden laskennassa.

Kartio muodostuu kun 'kolmio pyörähtää' x-akselin ympäri. Kolmion kanta on a ja korkeus h. Hypotenuusan etäisyys x-akselista saadaan kaavasta (hypotenuusa on 'runkokäyrä' ja etäisyys kertoo kartion paksuuden d puolikkaan, säteen a = d/2 ) Kts. kuva. Älä hätäänny, vaikka kuvassa säteelle käytetään lyhennettä a "=" d/2).

[kaava 4]:

    (et(x) = kartion säde, korkeuden x = [0,h] funktiona)

Kolmion kannalla x saa arvon nolla, joten etäisyys saa arvon a ja kolmion kärjessä x saa arvon h, joten lausekkeesta tulee nolla.

Kaava on siis kartion 'runkokäyrä' (säteelle, ei läpimitalle ) , korotetaan se tilavuusintegraalin laskentaa varten toiseen potenssiin:
[kaava. 5]:

Integroidaan x:n suhteen, saadan integraalifunktio
[kaava 6]:

Lasketaan välillä x = [0,h] kartion sisään jäävä tilavuus. Kerrotaan vielä tekijällä p (p = tulee siitä, että kartion pohjan ala = p*r^2 )  Sijoituksia integraalifunktion ylä- ja alarajalla ei tässä esitetä.
[kaava 7]:

Yhtälön oikea puoli vastaa kaavaa 1/3*g*h. Integraalissa 'laskettiin differentiaalisen ohuiden et-säteisten kiekkojen tilavuus yhteen'.

Palataan laskemaan tilavuus 16 cm ja 14 m :lle männylle. Tässä ei esitetä integraalilauseketta, joka saadaan kun em. kahdeksan terminen polynomi korotetaan toiseen potenssin ja integroidaan välillä 0..1 (tyvi - latva). Todettakoon vain, että lausekkeessa on 30 termiä, korkein potenssi 69 ja pienin 3. Moiset integroinnit on kätevintä laskea jollakin matematiikkaohjelmistolla.

Runkokäyräpolynomin integraalin arvoksi välillä 0..1 saadaan kuitenkin 0.6828. Tämä luku on vakio kaikille puille, joiden runko muistuttaa analyysipuumme runkomuotoa. Se vastaa 20 %:n korkeuden muotolukua.

Kun tilavuus saadaan kaavalla v = f*g*h ja meillä on tiedossa muotoluku 20 %:n korkeudelta, tarvitaan enää g eli pohjapinta-ala kyseisellä korkeudella ja puun pituus.

Puun läpimitta 20 %:n korkeudella 13,7 cm vastaa ppa:ta 0,01474 m². Pituus oli 14 m. Piin likiarvo 3.14.

TTK:n taulukossa (mänty) vastaava kombinaatio d_1.3 16 cm, 14 m antaa tilavuudeksi 142 litraa, joten puumme edusti melkolailla maan keskiarvoa-muotoa tämän kokoiselle puulle.

Meillä on siis tilavuusmalli männyille v = f_.2h*g_.2h*h, ja tarvittava f tiedossa sekä runkokäyrä, jolla voidaan laskea läpimittoja eri korkeuksille runkoa. Runkokäyrää voitaisiin edelleen käyttää monipuolisemmin, ja mm. muuntaa poikkeuksellisen d,h -kombinaation ollessa kyseessä, kuten mm. PUUOSA tekee (kts. Laasasenaho 1982, s. 29).