\documentstyle[12pt]{article}

\begin{document}
{\bf 7. Experimentell bestämning av Fermi-ytan}\\
\vspace{0.5cm}

En metod för direkt bestämning av formen på Fermiytan är att utnyttja
den s.k. de Haas - van Alphen effekten, vilken är benämningen på det
faktum att magnetiseringen i vissa metaller är en oskillerande
funktion av det magnetiska fällets styrka vid låga temperaturer och stor
fältstyrka. Förändringen i fältstyrkans
inversa värde över en full oskillation är omvänt proportionell mot
ett extremalt snitt $A_e$ genom Fermiytan vinkelrätt mot magnetfällets
riktning:

$$\Delta({1\over H})=\frac{2\pi e}{\hbar c}{1\over A_e}$$

\vspace{4cm}

\noindent
Genom att variera det pålagda magnetfällets riktning kan Fermiytan
kartläggas.\\

\noindent
Härledningen av de Haas - van Alphen effekten kan genomföras fullständigt
bara för den fria kvantmekaniska elektrongasen, men blir besvärlig då
elektronernas och jonernas växelverkning tas i beaktande.\\

Energin för en klassisk elektron i ett konstant magnetiskt fält i
$z$-riktningen är 

$$\epsilon=\frac{p_x^2+p_y^2}{2m}+\frac{p_z^2}{2m}$$
Här är $m$ elektronmassan $(m_e)$.\\

Schrödingerekvationen för motsvarande kvantmekaniska elektron är

$$\frac{1}{2m}(-i \hbar \nabla+\frac{e}{c}\vec A)\psi=\epsilon \psi.$$
För ett konstant fält kan vektorpotentialen $\vec A$ uttryckas med
hjälp av fältet som

$$\vec A={1\over 2} \vec H \times \vec r.$$
Då
$$\vec H=H \hat k$$
blir
$$\vec A={1\over 2} H(x\vec j-y \vec i).$$
Då det alltid är möjligt att addera gradienten av en godtycktig
skalärfunktion till $\vec A$ kan $\vec A$ väljas som

$$\vec A \rightarrow \vec A'={1\over 2}H(x\vec j-y\vec
i)+\nabla({H\over 2} xy)$$
$$=Hx\vec j.$$
Schrödingerekvationen blir då

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+{1\over
2m}(-i\hbar \frac{\partial}{\partial y}+{\partial \over c}
Hx)^2\psi-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2\psi}{\partial
z^2}=\epsilon\psi$$
En lösningsansats är 

$$\psi=e^{ik_y+ik_z z}u(x)$$
Insättning leder till

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2 u}{dx^2}+\frac{e^2
H^2}{2mc^2}(x+\frac{\hbar c}{qH}k_y)^2u=[\epsilon-\frac{\hbar^2
k_z^2}{2m}]u$$

Detta är Schrödingerekvationen för en en-dimensionell harmonisk
oskillator med centrum i punkten

$$x_0=-\frac{\hbar c}{qH}k_y$$
Vinkelfrekvensen för oskillatorn blir

$${1\over 2} m\omega^2={1\over 2m}\frac{e^2H^2}{c^2};$$
$$\omega={eH\over mc}.$$
Detta uttryck överensstämmer med det klassiska uttrycket för
vinkelhastigheten i elektronens spiralrörelse i fältet:

$$\frac{m v^2}{R}={e\over c} vH \rightarrow \omega={eH\over mc}.$$
Energin för en 1-dimensionell kvantmekanisk harmonisk oskillator är
$(n+1/2)\hbar \omega$, varav följer att elektronens energi är

$$\epsilon=\frac{\hbar^2k_z^2}{2m}+(n+{1\over 2})\hbar \omega,\quad
n=0,1,2,...$$

Antalet tillstånd med energikvanttalen $(n,k_z)$ är mycket stort.
Degenerationsfaktorn kan beräknas på följande sätt.\\

\vspace{4cm}

\noindent
Periodiska randvillkor:
$$k_x={2\pi \over L}n_x;\;n_x=0, \pm 1,...$$
$$k_y={2\pi \over L}n_y;\;n_y=0,\pm 1,...$$
Tillståndstätheten i $(k_x,k_y)$-planet är $(\frac{2\pi}{L})^{-2}$.

\vspace{5cm}

\noindent
Alla tillstånd inom cirkeln $|\vec k|=\sqrt{{2m\over \hbar} \omega}$
har energin $\epsilon={1\over 2} \hbar \omega$

$$\rightarrow 0<|\vec k|<\sqrt{{2m\over \hbar} \omega} \rightarrow
\epsilon={1\over 2} \hbar \omega$$
$$\rightarrow \sqrt{{2m\over \hbar} \omega}<|\vec k|<\sqrt{{2m\over
\hbar} 2\omega} \rightarrow \epsilon={3\over 2} \hbar \omega$$
$$\sqrt{{2m \over \hbar}n\hbar \omega}<|\vec k|<\sqrt{{2m\over \hbar}
(n+1)\omega} \rightarrow \epsilon=\hbar\omega(n+{1\over 2})$$
Antalet tillstånd inom ringen

$$\sqrt{{2m \over \hbar} n\omega}<|\vec k|<\sqrt{{2m\over \hbar}
(n+1)\omega}$$
är 
$$\pi\{{2m\over \hbar^2}(n+1)\hbar \omega-{2m\over \hbar^2}(n \hbar
\omega)\}(\frac{L}{2\pi})^2$$
$$=\frac{m L^2 \omega}{2\pi \hbar}$$
Detta bör multipliceras med 2 då det finns två elektroner per
tillstånd. Om $L \sim 1\;cm$ och $H \sim 1\;kG$ blir degenerationstalet
$\sim 10^{10}$. Kvanttillståndena ($n,k_z$) kallas Landau-tillstånd.\\

Degenerationsfaktorn för oskillatorvinåen $(n,k_z)$ är därigenom

$$\frac{2m\omega}{2\pi \hbar}L^2=\frac{2eH}{2\pi \hbar}L^2$$
I närheten av Fermienergin är
$$\varepsilon_F \sim n\hbar \omega_c,$$
vilket innebär att kvanttalet $n$ är av storleksordningen

$$n\sim \frac{\varepsilon_F}{\hbar
\omega_c}=\frac{\varepsilon_F}{{e\hbar \over mc}H}$$
Vidare är
$$\mu_B=\frac{e\hbar}{2m_e c}=5.8 \cdot 10^{-5}eV/T$$
Detta innebär att
$$n\sim \frac{\varepsilon_F}{1.16 \cdot 10^{-8}eV/G} \cdot
\frac{1}{H}$$
Då $\varepsilon_F \sim eV$ blir $n\sim 10^4$ för magnetfält av normal
laboratoriestyrka $(<10kG)$.\\

Enligt Bohr's korrespondensprincip, som gäller för tillstånd med stora
kvanttal, är skillnaden i energi mellan två nivåer $h \; ggr$
motsvarande klassiska frekvens:

$$\varepsilon_{n+1}-\varepsilon_n=\frac{h}{T[\varepsilon_n(k_z),k_z]}$$
Det klassiska energiuttrycket är

$$\varepsilon={1\over 2}m\vec v^2={1\over 2}\frac{\hbar^2k^2}{m}.$$
Arean av cirkelbanan i $\vec k$ rymden är

$$A=\pi k^2=\frac{2\pi m}{\hbar^2}\varepsilon.$$
Perioden är
$$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi mc}{eH}.$$
Ett allmänt resultat för semiklassisk rörelse i magnetiska fält ger 
sambandet mellan $T,\; A$ och $\varepsilon$ som

$$T=\frac{\hbar^2 c}{eH}\frac{\partial A}{\partial \varepsilon}.$$
Detta gäller uppenbart för rörelse längs circelbanor som ovan. 
Insättning i korrespondensprincipen leder till 

$$(\varepsilon_{n+1}-\varepsilon_n) \frac{\partial A}{\partial
\varepsilon} =\frac{2\pi eH}{\hbar c}.$$
$$\approx
(\varepsilon_{n+1}-\varepsilon_n)\frac{A(\varepsilon_{n+1})
-A(\varepsilon_n)}{\varepsilon_{n+1}-\varepsilon_n}.$$
Detta leder till 

$$A(\varepsilon_{n+1})-A(\varepsilon_n) \approx \frac{2\pi eH}{\hbar
c}.$$

Närmast intill varandra liggande klassiska banor omskriver
areor, vars skillnad är konstant:

$$\Delta A=\frac{2\pi eH}{\hbar c}.$$

Detta resultat kan också uttryckas i formen 

$$A(\varepsilon_n(k_z),k_z)=(n+\lambda)\Delta A,$$
där $\lambda$ är oberoende av $n$.\\

För ett givet värde på $n$ bildar de banor som satisfierar villkoret

$$A(\varepsilon_n(k_z),k_z)=(n+\lambda)\Delta A$$
ytor med konstant tvärsnitt i $k_x,k_y$ planet:

\vspace{4cm}

\noindent
Antalet banor som bidrar till energitillståndsmängden i intervallet
$d\varepsilon$ är $g((\varepsilon)d\varepsilon$, och är proportionellt
mot arean av det "rörelement" som begränsas av tvärsnitten vid
$\varepsilon$ och $\varepsilon + d\varepsilon$:

\vspace{4cm}

Ifall energiytan $\varepsilon(\vec k)$ tangerar "Landauröret" kommer
de två rörsegmenten att sammanfalla till ett enda stort segment. I
detta fall är $\varepsilon(\vec k)$ en extremalyta och
$g(\varepsilon)d\varepsilon$ har ett mycket stort värde. Då de flesta
metalliska egenskaper avhänger av energinivåtätheten vid Fermiytan,
kommer de att ha en pik då

$$(n+\lambda)\Delta A=A_e(\varepsilon_f),$$
dvs då $A_e$ är ett extremalt tvärsnitt genom Fermiytan. Av

$$\Delta A=\frac{2\pi eH}{\hbar c},$$
följer då att $g(\varepsilon_f)$ har en pik för de $H$-värden, vars
inversa värden åtskiljs av intervallerna

$$\Delta({1\over H})=\frac{2\pi e}{\hbar c}
\frac{1}{A_e(\varepsilon_f)}.$$
Detta oskillerande beteende försvinner vid temperaturer för vilka
Ferminivåns dispersion $k_BT$ är större än energiintervallet mellan
Landaunivåerna. För den fria elektrongasen gäller

$$\hbar \omega=\frac{e \hbar}{mc}H$$
så att

$$\frac{\hbar \omega}{k_BT}=\frac{e\hbar}{mck_B} {H\over T}=1.34 \cdot
10 ^{-4}(\frac{H/G}{T/K}).$$
Detta innebär att förhållandet $H/T$ bör vara större än $10^4 G/K$ för
empirisk iakttagelse av de Haas - van Alphen -oskillationerna.

\vspace{1cm}

{\bf Sambandet mellan cyklotronfrekvensen och banarean}\\
\vspace{0.5cm}

Ifall en elektron rör sig på en sluten konstant-energiyta kommer des
vågvektor att beskriva periodisk rörelse. Trajektorien bildas av
skärningen mellan konstantenergiytan och ett normalplan till det
pålagda magnetiska fältet.

\vspace{5cm}

Betrakta två slutna trajektorier med energierna $E$ och $E+\Delta E$:

\vspace{5cm}

Den klassiska rörelseekvationen för elektronen är

$$\frac{d\vec p}{dt}=-{e\over c} \vec v \times \vec H.$$

\noindent
Rörelsemängden kan omskrivas som $\vec p=\hbar \vec k$, där $\vec k$
är vågvektorn. Hastigheten beskrivs av grupphastigheten för ett
elektronvågpaket

$$\vec v_g=\frac{dE}{d\vec p}={1\over \hbar} \frac{dE}{d\vec k}.$$
Insättning i rörelsekvationen leder till 

$$\hbar \frac{d\vec k}{dt}=-\frac{e}{\hbar c}\frac{dE}{d\vec k} \times
\vec H$$
Då energiderivatan $\nabla_{\vec k}E$ är normal til trajektorien fås

$$\hbar \frac{dk}{dt}=\frac{e}{\hbar c}\frac{dE}{dk}H \approx
\frac{e}{\hbar c}\frac{\Delta E}{\Delta k}H$$

Multiplikation med $dt \Delta h$ leder till 

$$\Delta k \, dk=\frac{e}{\hbar^2 c}\Delta E \, dt$$
Integration över $dt$ ger

$$\int dt=T=\frac{2\pi}{\omega_c},$$
där $\omega_c$ är "cyclotronfrekvensen".\\

Integration över $\Delta k\, dk$ leder till arean $\Delta A$ mellan
trajektorierna så att

$$\Delta A=\frac{eH}{\hbar^2 c} T\Delta E,$$
varav
$$T=\frac{\hbar^2 c}{eH}(\frac{\partial A}{\partial E}).$$

\end{document}
