\documentstyle[12pt]{article}

\begin{document}
{\bf 5. Elektrontillstånd i en svag periodisk potential}\\
\vspace{0.5cm}

Vågfunktionen för en Blochelektron kan i allmänhet uttryckas i formen

$$\psi_{\vec k}(\vec r)=\sum_{\vec k}c_{\vec k-\vec K}e^{i(\vec k-\vec
K)\cdot \vec r}.$$
Schrödingerekvationen för Fourierkoefficienterna $c_{\vec k-\vec K}$
är

$$[\frac{\hbar^2}{2m}(\vec k-\vec K)^2-\varepsilon]c_{\vec k-\vec
K}+\sum_{\vec K'}U_{\vec K'-\vec K}c_{\vec k-\vec K'}=0$$
Olika lösningar för en given $\vec k$-vektor åtskiljs med ett index
$n$, som anger bandets ordningstal.\\

För fria elektroner är ekvationen

$$(\varepsilon^0_{\vec k-\vec K}-\varepsilon)c_{\vec k-\vec K}=0,$$
$$\varepsilon_{\vec q}^0\equiv \frac{\hbar^2}{2m}\vec q^2.$$
Ifall $\varepsilon_{\vec k-\vec K}^0$ har ett unikt olikt värde för
varje $\vec K$-vektor gäller att

$$\varepsilon=\varepsilon_{\vec k-\vec K}^0;\;\psi_{\vec k} \sim
e^{i(\vec k-\vec K)\cdot \vec r}.$$
Ifall däremot $\varepsilon_{\vec k-\vec K}^0$ är lika för flere olika
$\vec K$-vektorer $\vec K_1...\vec K_m$:

$$\varepsilon_{\vec k-\vec K_1}^0=..=\varepsilon_{\vec K-\vec K_m}^0,$$
finns det $m$ lineärt oberoende planvågslösningar. Då godtyckliga
lineära kombinationer av dessa också är lösningar med samma energi kan
koefficienterna $c_{\vec k-\vec K}$ väljas helt godtyckligt för de $m$
$\vec K$-värdena $\vec K_1,...\vec K_m$.\\

Betrakta en situation med en svag växelverkningspotential. Till
denna kan man alltid addera en konstant så att dess rumsintegral är
$0$:

$$u_0={1 \over v} \int_{cell} d^3r u(\vec r)=0.$$
Betrakta en specifik gittervektor $\vec K_1$. Schrödingerekvationen
blir då med denna som referens

$$(\varepsilon-\varepsilon_{\vec k-\vec K_1}^0)c_{\vec k-\vec
K_1}=\sum_{\vec K}U_{\vec K-\vec K_1}c_{\vec k-\vec K}$$
Då $u_{\vec 0}=0$ uppträder termen $\vec K=\vec K_1$ inte i summan
över $\vec K$.
Denna ekvation leder till 

$$c_{\vec k-\vec K_1}=\frac{1}{\varepsilon-\varepsilon_{\vec k-\vec
K_1^0}} \sum_{\vec K \neq \vec K_1}U_{\vec K-\vec K_1} c_{\vec k-\vec
K}$$
Om detta uttryck insättes i högra membrum av ekvationen ovan fås 

$$(\varepsilon-\varepsilon_{\vec k-\vec K_1}^0)c_{\vec k-\vec
K_1}=\sum_{\vec K\vec K'}\frac{U_{\vec K-\vec K_1} \; U_{\vec K'-\vec
K}}{\varepsilon-\varepsilon_{\vec k-\vec K}^0}c_{\vec k-\vec K'}$$
Om energinivåerna är väl åtskiljda kan denna ekvation approximeras som

$$(\varepsilon-\varepsilon_{\vec k-\vec K_1}^0)c_{\vec k-\vec K_1}
\approx \sum_{\vec K} \frac{U_{\vec K-\vec K_1}\;U_{\vec K_1-\vec
K}}{\varepsilon_{\vec k-\vec K_1}^0-\varepsilon_{\vec k-\vec
K}^0}c_{\vec k-\vec K_1},$$
varav följer att

$$\varepsilon \approx \varepsilon_{\vec k-\vec K_1}^0+\sum_{\vec
K}\frac{U_{\vec K-\vec K_1}\;U_{\vec K_1-\vec K}}{\varepsilon_{\vec
k^0-\vec K_1}-\varepsilon_{\vec k-\vec K}^0}$$
$$=\varepsilon_{\vec k-\vec K_1}^0+\sum_{\vec K}\frac{|U_{\vec K-\vec
K_1}|^2}{\varepsilon_{\vec K-\vec K_1}^0-\varepsilon_{\vec k-\vec
K}^0}$$
Detta uttryck anger hur mycket energinivån $\varepsilon_{\vec k-\vec
K_1}^0$ förändras av växelverkan med kristalljonerna till lägsta
ordningen.\\

Ifall en grupp energivärden
$\varepsilon_{k-K_1}^0...\varepsilon_{k-K_m}^0$ ligger mycket nära
varandra och väl åtskiljda från alla andra nivåer bör korrektionerna
av första ordningen inom gruppen behandlas tillsammans:

$$(\varepsilon-\varepsilon_{\vec k-\vec K_i}^0)c_{\vec k-\vec
K_i}=\sum_{j=1}^{m}U_{\vec K_j-\vec K_i} c_{\vec k-K_j}+\sum_{\vec K
\neq \vec K_1-\vec K_m} U_{\vec K-\vec K_i}c_{\vec k-\vec K}$$
$$\approx \sum_{j=1}^{m}U_{K_j-K_i}c_{\vec K-K_j}$$
Ifall gruppen av närbelägna energinivåer omfattar bara två nivåer
reduceras ekvationssystemet till 

$$(\varepsilon-\varepsilon_{\vec q}^0)c_{\vec q}=U_{\vec K}c_{\vec q
-\vec K},$$
$$(\varepsilon-\varepsilon_{\vec q -\vec K}^0)c_{\vec q-\vec K}=U_{-\vec
K} c_q=U_K^{*} c_q.$$
Här är beteckningarna 

$$\left\{ \begin{array}{l}
\vec q\equiv \vec k-\vec K_1 \\
\vec K=\vec K_2-\vec K_1\end{array}\right.$$
I detta fall gäller

$$\varepsilon_{\vec q}^0 \approx \varepsilon_{\vec q-\vec K}^0 \;{\rm
och}\; |\varepsilon_{\vec q}^0-\varepsilon_{\vec q-\vec K}^0|>>U,\;\vec
K'\neq \vec K,\;0.$$
Likheten
$$\varepsilon_{\vec q}^0=\varepsilon_{\vec q-K}^0$$
gäller då
$$|\vec q|=|\vec q-\vec K|$$
vilket innebär att $\vec q$ ligger på ett Braggplan:

\vspace{5cm}

Den approximativa likheten

$$\varepsilon_{\vec q}^0 \approx \varepsilon_{\vec q-\vec K}^0$$
innebär då att $\vec q$ ligger mycket nära ett Braggplan. En svag
periodisk potential påverkar därför huvudsakligen de elektrontillstånd
vars vågvektorer ligger nära dem som ledder till Braggreflexion.\\

\noindent
Det homogena ekvationssystemet för vektorn

$$\left( \begin{array}{c}
c_{\vec q} \\
c_{\vec q-\vec K} \end{array} \right)$$
har otriviala lösningar bara då ekvationssystemets determinant är $0$:

$$\left| \begin{array}{cc}
\varepsilon-\varepsilon_{\vec q}^0 & -U_{\vec K}\\
-U_{\vec K}^{*} & \varepsilon-\varepsilon_{\vec q-\vec K}^0
\end{array} \right|=0$$
Lösningarna till denna ekvation är

$$\varepsilon={1\over 2}(\varepsilon_{\vec q}^0+\varepsilon_{\vec
q-\vec K}^0)\pm\sqrt{(\frac{\varepsilon_{\vec q}^0-\varepsilon_{\vec
q-\vec K}^0}{2})^2+|U_{\vec K}|^2}$$
Om $\vec q$ ligger på ett Braggplan gäller

$$\varepsilon=\varepsilon_{\vec q}^0\pm|U_{\vec K}|.$$
Om $U_{\vec K}=U_{\vec K}^{*}$ är lösningen för $c_{\vec q},\;\vec
c_{\vec q-\vec K}$ då $\vec q$ ligger på ett Braggplan

$$c_{\vec q}=\pm sgn(U_{\vec K})c_{\vec q-\vec K}.$$
Detta leder till

$$\psi_{\vec k}(\vec r)=\sum_{\vec K}c_{\vec k-\vec K}e^{i(\vec k-\vec
K)\cdot \vec r}$$
$$=c_{\vec k-\vec K_1}e^{i(k-\vec K_1)\cdot \vec r}+c_{\vec k-\vec
K_2}e^{i(\vec K-\vec K_2)\cdot \vec r}$$
$$=c_{\vec k-\vec K_2} e^{i \vec k \cdot \vec r}\{\pm sgn(U_{\vec
K})e^{-i\vec K_1 \cdot \vec r}+e^{-i \vec K_2 \cdot \vec r}\},$$
$$\vec K=\vec K_2-\vec K_1,$$
$$\vec Q={1\over 2}(\vec K_2+\vec K_1),$$
$$\rightarrow \vec K_2={1\over 2} \vec K+\vec Q,$$
$$\vec K_1=\vec Q-{\vec K \over 2},$$
$$=c_{\vec k-\vec K_2}e^{i\vec k \cdot \vec r}e^{-i\vec Q \cdot \vec
r}\{\pm sgn (U_{\vec K})e^{i\vec K \cdot \vec r/2}+e^{i\vec K \cdot
\vec r/2}\}$$
Därigenom gäller att
$$|\psi_{\vec k}(\vec r)|^2\sim (cos(\frac{\vec K \cdot \vec
r}{2}))^2\quad U_{\vec K}>0;\; \varepsilon=\varepsilon_{\vec
q}^0+|U_{\vec K}|$$
$$|\psi_{\vec k}(\vec r)|^2 \sim (sin(\frac{\vec K \cdot \vec
r}{2}))^2\quad U_{\vec K}>0,\; \varepsilon=\varepsilon_{\vec
q}^0-|U_{\vec K}|$$
$$|\psi_{\vec k}(\vec r)|^2 \sim(sin(\frac{\vec K \cdot \vec r}{2})^2)\quad
U_{\vec K}<0,\; \varepsilon=\varepsilon_{\vec q}^0+|U_{\vec K}|$$
$$|\psi_{\vec K}(\vec r)|^2 \sim(cos(\frac{\vec K \cdot \vec r}{2})^2)
\quad U_{\vec K}<0,\; \varepsilon=\varepsilon_{\vec q}^0-|U_{\vec
K}|$$
På ett Braggplan gäller

$$\varepsilon_{\vec q}^0=\varepsilon_{\vec q-K}^0$$
och

$$\frac{\partial \varepsilon}{\partial \vec q}=\frac{\hbar^2}{m}(\vec
q-{1\over 2} \vec K).$$
Detta innebär att energigradienten är parallell med Braggplanet och
att ytor med konstant energi vid ett Braggplan är perpendikulära mot
planet.\\

Detta är lättast att illustrera med ett 1-dimensionellt exempel.\\

Nära ett Braggplan gäller då

$$\varepsilon=\frac{\hbar^2}{2m}q^2\pm U_K,$$
medan i övrigt

$$\varepsilon \approx \frac{\hbar^2}{2m}q^2.$$

\vspace{15cm}

{\bf 6. Stark bindningsapproximationen}\\
\vspace{0.5cm}

I sådana situationer där elektronvågfunktionerna är centrerade på
jonerna är det naturligt att behandla systemet med utgångspunkt i
atomära elektronvågfunktioner. I detta fall skrives Hamiltonoperatorn
för systemet som

$$H=H_{at}+\Delta U(\vec r).$$
Här är $H_{at}$ summan över de enskilda atomernas Hamiltonoperatorer
och $\Delta U(\vec r)$ en korrektion som tar i beaktande kristallens
periodicitet. Om vågfunktionerna för en elektron bunden till en enda
atom är $\psi_n (\vec r)$ bör hela systemets vågfunktion approximeras
med en lineär kombination av typen

$$\psi_{n \vec k}(\vec r)=\sum_{\vec R} e^{i\vec k \cdot \vec R}
\psi_n(\vec r-\vec R).$$
Här löper summan över $\vec R$ över alla positioner i Bravaisgittret,
medan vektorn $\vec k$ antar alla sådana värden i elementarcellen i
det reciproka gittret som satisfierar de periodiska randvillkoren.\\

Denna ansats satisfierar Bloch's teorem då

$$\psi(\vec r + \vec R)=\sum_{\vec R'}e^{i\vec k \cdot \vec
R'}\psi_n(\vec r+\vec R-\vec R')$$
$$=e^{i\vec k \cdot \vec R} \sum_{\vec R'}e^{i\vec k \cdot(\vec
R'-\vec R)}\psi_n(\vec r-(\vec R'-\vec R))$$
$$=e^{i\vec k \cdot \vec R} \sum_{\vec R''}e^{i\vec k \cdot \vec
R''}\psi_n(\vec r-\vec R'')$$
$$=e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi(\vec r).$$

För denna vågfunktionsapproximation är energierna $\varepsilon_n(\vec
k)$ oberoende av $\vec k$. En mer realistisk modell är att ersätta
en-atom vågfuntionerna $\psi(\vec r)$ med en allmännare funktion
$\phi(\vec r)$:

$$\psi(\vec r)=\sum_{\vec R} e^{i\vec k \cdot \vec R} \phi(\vec r-\vec
R).$$
Ansatsen är nu att funktionen $\phi(\vec r)$ bör kunna uttryckas som en
lineär kombination av ett fåtal en-atomfunktioner:

$$\phi(\vec r)=\sum_{n} b_n\psi_n(\vec r)$$
Schrödingerekvationen blir

$$[H_{at}+\Delta U(\vec r)]\psi(\vec r)=\varepsilon(\vec k)\psi(\vec
r).$$
Multiplikation med $\psi_n^{*}(\vec r)$ leder till

$$[\varepsilon(\vec k)-E_m]\int d^3r \psi_m^{*}(\vec r)\psi(\vec
r)=\int d^3r \psi_m^{*}(\vec r)\Delta U(\vec r)\psi (\vec r)$$
Nästa steg är att utveckla $\psi(\vec r)$:

$$\psi(\vec r)=\sum_{n,\vec R}b_n e^{i\vec k \cdot \vec R} \psi_n(\vec
r-\vec R),$$
$$[\varepsilon(k)-E_m]\sum_{n} \int d^3 r \psi_m^{*}(\vec r)\psi_n(\vec r)b_n$$
$$+[\varepsilon(\vec k)-E_m]\sum_{n}\sum_{\vec R \neq \vec 0} \int d^3r
\psi_m^{*}(\vec r)\psi_n(\vec r-\vec R)$$
$$=\sum_{n,\vec R} \int d^3r \psi_m^{*}(\vec r) \Delta U(\vec r)
\psi_n(\vec r-\vec R).$$
Pga ortogonaliteten är 

$$\int d^3 r \psi_m^{*}(\vec r)\psi_n(\vec r)=\delta_{mn},$$
så att

$$(\varepsilon(\vec k)-E_m)b_m$$
$$=-(\varepsilon(\vec k)-E_m)\sum_{n} \{\sum_{\vec R \neq 0} \int d^3r
\psi_m^{*}(\vec r)e^{i\vec k \cdot \vec R}\psi_n(\vec r-\vec R)\}b_n$$
$$+\sum_{n,\vec R}\{\int d^3r \psi_m^{*}(\vec r)\Delta U(\vec r)
e^{i\vec k \cdot \vec
R}\psi_n(\vec r-\vec R)\}b_n.$$
Alla termer i högra membrum är små, vilket innebär att 

$$(\varepsilon(\vec k)-E_m)b_m$$
är litet. Detta innebär att om $\varepsilon(\vec k)$ inte ligger nära
en atomär energinivå $b_m$ måste vara litet.\\

Betrakta som ett exempel en situation med ett atomärt $s-$ tillstånd
som är odegenerat och väl åtskiljt från övriga nivåer. En första
approximation är då

$$(\varepsilon(\vec k)-E_s)=-(\varepsilon(\vec k)-E_s)\sum_{\vec R
\neq 0}\int d^3r \psi^{*}(\vec r)\psi(\vec r-\vec R)e^{i\vec k \cdot
\vec R}$$
$$+\int d^3r \psi^{*}(\vec r)\Delta U(\vec r)\psi(\vec r)$$
$$+\sum_{\vec R\neq 0}\int d^3r \psi^{*}(\vec r)\Delta U(\vec r)\psi
(\vec r-\vec R)e^{i\vec k \cdot \vec R}.$$

Lösningen till denna ekvation kan skrivas som

$$\varepsilon(\vec k)=E_s-\frac{\beta+\sum \gamma(\vec R)e^{i\vec k
\cdot \vec R}}{1+\sum \alpha(\vec R)e^{i\vec k\cdot \vec R}},$$
med

$$\beta=-\int d^3r \Delta U|\psi(\vec r)|^2,$$
$$\alpha(\vec R)=\int d^3r \psi^{*}(\vec r)\psi (\vec r-\vec R),$$
$$\gamma(\vec R)=-\int d^3r \psi^{*}(\vec r)\Delta U(\vec r)\psi(\vec
r-\vec R).$$
Då $\alpha(\vec R)$ är litet i jämförelse med $1$ och då $\gamma(\vec
R)=\gamma(-\vec R)$ eftersom $\Delta U(\vec r)=\Delta U(-\vec r)$, fås
approximativt

$$\varepsilon(\vec k)=E_s-\beta-\sum_{n.n.} \gamma(\vec R)cos(\vec k
\cdot \vec R).$$
Symbolen $n.n.$ anger att $\vec R$ värdena i summan enbart löper över
de närmaste grannarna till origo.\\

\newpage
Exempel: $fcc$ kristall.

\vspace{4cm}

12 närmaste grannar till $\vec 0$:
$$\vec R={a\over 2}(\pm 1,\pm 1,0),$$
$${a\over 2}(\pm 1, 0, \pm 1)$$
$${a\over 2}(0,\pm 1,\pm 1)$$

$$\vec k \cdot \vec R={a\over 2}(\pm k_i,\pm k_j);\; i,j=x,y;y,z;z,x$$
$$\gamma(\vec R)=\gamma={\rm konstant\; för\; alla\; 12\; vektorer}\; \vec R:$$

$$\varepsilon(\vec k)=E_s-\beta-4\gamma\{cos \frac{k_x
a}{2})cos(\frac{k_ya}{2})$$
$$+cos(\frac{k_ya}{2})cos(\frac{k_za}{2})+cos(\frac{k_za}{2})cos(\frac{k_xa}{2}\};$$

$$\gamma=-\int d^3r \psi^{*}(\vec r)\Delta U(\vec r)\psi(x-{a\over
2},\; y-{a\over 2},\;z)$$
\end{document}
