\documentstyle[12pt]{article}

\begin{document}
{\bf 4. Elektronrörelse i periodiska system}\\
\vspace{0.5cm}

Den joniska bakgrundspotentialen i en oändlig kristall är periodisk:

$$U(\vec r+\vec R)=U(\vec r),\; \vec r \epsilon {\cal B}$$
Här betecknar $\vec R$ en vektor i Bravaisgittret ${\cal B}$.\\

Potentialen är djup nära atomerna och svag mitt imellan dem:

\vspace{5cm}

För en periodisk potential gäller Bloch's teorem:\\

Egentillståndena för en elektron som beskrivs med en Hamiltonoperator,
vars form är

$$H=-\frac{\hbar^2 \nabla^2}{2m}+U(\vec r),$$
där $U(\vec r)=U(\vec R+\vec r)$ för alla $\vec R \epsilon {\cal B}$ har
formen 

$$\psi_{n\vec k} (\vec r)=e^{i \vec k \cdot \vec r} u_{n\vec k}(\vec
r),$$
där $u_{n\vec k}$ är en funktion med potentialens periodicitet:

$$u_{n\vec k}(\vec r+\vec R)=u_{n\vec k}(\vec r).$$
Av teoremet följer att

$$\psi_{n\vec k}(\vec r+\vec R)=e^{i\vec k \cdot \vec R}\psi_{n\vec
k}(\vec r),$$
där $\vec R$ är en vektor i Bravaisgittret.\\

För att bevisa Bloch's teorem är det behändigt att definiera en
translationsoperator $T_{\vec R}$:

$$T_{\vec R}f(\vec r)\equiv f(\vec r+\vec R).$$

Då Hamiltonoperatorn är periodisk gäller 

$$T_{\vec R}H(\vec r)\psi(\vec r)=H(\vec r+\vec R)\psi(\vec r+\vec
R)$$
$$=H(\vec r)\psi(\vec r +\vec R)=H(\vec r) T_{\vec R} \psi(\vec r).$$

Härav följer att $T_{\vec R}$ och $H$ kommenterar för alla $\vec 
R \epsilon {\cal B}$:

$$T_{\vec R}H=HT_{\vec R}$$
Vidare gäller att

$$T_{\vec R} T_{\vec R'}\psi(\vec r)=T_{\vec R'} T_{\vec R}\psi(\vec
r)=\psi(\vec r+\vec R+\vec R'),$$
och därigenom att

$$T_{\vec R}T_{\vec R'}=T_{\vec R'}T_{\vec R}=T_{\vec R+\vec R'}$$
För ett energiegentillstånd gäller

$$H\psi=\varepsilon \psi,$$
och då $[T_{\vec R}, H]=0$ att

$$T_{\vec R}H\psi=HT_{\vec R} \psi=\epsilon T_{\vec R} \psi$$
Härav följer att om $\psi$ är en lösning med energin $\varepsilon$ så
är också $T_{\vec R} \psi$ en sådan lösning. Ifall energitillståndet
inte är degenerat är då

$$T_{\vec R}\psi(\vec r)=C(\vec R)\psi (\vec r),$$
där $C(\vec R)$ är en konstant som enbart beror av
Bravaisgittervektorn $\vec R$. \\

Vidare är 

$$T_{\vec R'}T_{\vec R}\psi=C(\vec R)T_{\vec R'} \psi=C(\vec R)C(\vec
R')\psi,$$
och
$$T_{\vec R'}T_{\vec R}\psi=T_{\vec R+\vec R'}\psi=C(\vec R+\vec
R')\psi.$$
Detta innebär att translationsoperatorns egenvärden $C(\vec R)$ måste
satisfiera villkoret

$$C(\vec R)C(\vec R')=C(\vec R+\vec R').$$
Logaritmering leder till

$$log C(\vec R)+log C(\vec R')=log C(\vec R+\vec R').$$
De enda lösningarna till denna funktionalekvation är

$$log C(\vec R)=i\vec k \cdot \vec R,$$
där $\vec k$ är en konstant tredimensionell vektor.\\

Härav fås
$$C(\vec R)=e^{i\vec k \cdot \vec R}$$
och
$$T_{\vec R}\psi =\psi(\vec r+\vec R)=C(\vec R)\psi=e^{i\vec k \cdot
\vec R}\psi(\vec r)$$
Detta är Bloch's teorem!\\

\noindent
Bloch's toerem innebär att de fria elektronvågfunktionerna i ett
periodiskt system $exp(i\vec k \cdot \vec r)$ är modulerade med en
funktion $u_{\vec k}(\vec r)$ med gittrets periodicitet.\\

\vspace{1cm}

{\bf Periodiska gränsvillkor}\\
\vspace{0.5cm}

Gränsvillkoren för en elektron i ett kubiskt utrymme är att
vågfunktionen är periodisk:

$$\psi(x,y,z+L)=\psi(xyz)$$
$$\psi(x,y+L,z)=\psi(xyz)$$
$$\psi(x+L,y,z)=\psi(xyz)$$
Den naturliga generaliseringen av dessa gränsvillkor till ett
allmänt Bravaisgitter är

$$\psi(\vec r+N_i \cdot \vec a_i)=\psi(\vec r),\quad i=1,2,3.$$
Det totala antalet elementarceller antas vara

$$N=N_1N_2N_3.$$
Enligt Bloch's teorem är 

$$\psi_{n\vec k}(\vec r+\vec R)=e^{i\vec k \cdot \vec R}\psi_{n\vec
k}(\vec r),$$
varav följer att

$$\psi_{n\vec k}(r+N_i \vec a_i)=e^{_i N_i \vec k\cdot \vec
a_i}\psi_{n\vec k}(\vec r),$$
$$\qquad i=1,2,3.$$
Detta implicerar att

$$e^{_iN_i\vec k \cdot \vec a_i}=1$$
Om $\vec k$ är en vektor 

$$\vec k=x_1\vec b_1+x_2\vec b_2+x_3\vec b_3$$
gäller att

$$b_i\vec a_i=2\pi$$
så att
$$e^{i2\pi N_i x_i}=1.$$
Lösningen till denna ekvation är 

$$x_i=\frac{m_i}{N_i},$$
där $m_i$ är ett heltal.

De vektorer i det reciproka gittret som satisfierar de periodiska
gränsvillkoren har då formen

$$\vec k=\sum_{i} \frac{m_i}{N_i} \vec b_i,\quad m_i\quad {\rm heltal}.$$
Varje volym med storleken

$$\Delta k=\frac{\vec b_1}{N_1}\cdot (\frac{\vec b_2}{N_2} \times
\frac{\vec b_3}{N_3})={1\over N}(\vec b_1 \cdot \vec b_2 \times \vec
b_3)$$
innehåller ett tillåtet $\vec k$-värde i det reciproka gittret.\\

$\vec b_1 \cdot \vec b_2 \times \vec b_3$ är volymen av en
elementarcell i det reciproka gittret. Det totala antalet tillåtna
vågvektorer i denna är då lika med det totala antalet elementarceller
i kristallen $N$.\\

Vidare gäller att $\vec b_1 \cdot \vec b_2 \times \vec b_3=(2\pi)^3/v$
där $v$ är en elementarcells volym i det ursprungliga gittret. Då
$v=V/N$ gäller

$$\Delta \vec k=\frac{(2\pi)^3}{V},$$
vilket är samma resultat som gäller för en fri elektrongas i en kubisk
volym.\\

\vspace{1cm}

{\bf Fourierserier för periodiska funktioner}\\
\vspace{0.5cm}

Låt $f(\vec r)$ vara en periodisk funktion i Bravaisgittret så att

$$f(\vec r +\vec R)=f(\vec r).$$
Då kan $f(\vec r)$ utvecklas som en Fourierserie:

$$f(\vec r)=\sum_{\vec K}f_{\vec K} e^{i\vec K \cdot \vec r},$$
där summan över $\vec K$ löper over hela det reciproka gittret.\\

För att bestämma Fourierkomponenterna $f_{\vec K}$ kan man multiplicera
med $e^{-i\vec K' \cdot \vec r}$ och integrera $\vec r$ över en
elementarcell:

$$\int_{C} d^3r e^{-i\vec K' \cdot \vec r} f(\vec r)=\sum_{\vec
K}f_{\vec K}\int_{C}d^3 r e^{i(\vec K-\vec K') \cdot \vec r}$$

Ifall $\vec K=\vec K'$ blir

$$\int_{C}d^3r=v,$$
där $v$ är elementarcellens volym. Vidare gäller att

$$\int_{C}d^3r e^{i(\vec K-\vec K')\cdot \vec r}=0$$
ifall $\vec K \neq \vec K'$. Detta följer av att

$$\int_{C}d^3re^{i\vec K \cdot \vec r}=0,\; \vec K\neq 0,$$
ifall $\vec K$ är en vektor i det reciproka gittret. Notera att

$$\int_{C}d^3re^{i\vec K \cdot \vec r}=\int_{C}d^3re^{i\vec K \cdot
(\vec r+\vec d)}$$
$$=\int_{C'}d^3re^{i\vec K \cdot \vec r}=\int_{C}d^3re^{i\vec K \cdot
\vec r},$$
då integralen är oberoende av hur elementarcellen väljs. Härav följer
att

$$(e^{i\vec K \cdot \vec d}-1)\int d^3r e^{i\vec K \cdot \vec r}=0.$$
Då $e^{i\vec K \cdot \vec d}-1=0$ för godtyckliga värden på $\vec d$
bara om $\vec K=0$ följer att

$$\int d^3re^{i\vec K \cdot \vec r}=0,\; \vec K \neq 0.$$
Därigenom gäller att om

$$f(\vec r)=\sum_{\vec K}f_{\vec K}e^{i\vec K \cdot \vec r},$$
så är

$$\vec f_K={1\over v}\int_{C}d^3re^{-i\vec K \cdot \vec r}f(\vec r)$$

\vspace{1cm}

{\bf Alternativ härledning av Bloch's teorem}\\
\vspace{0.5cm}

Låt $\psi(\vec r)$ vara en elektronvågfunktion, som satisfierar det
periodiska gränsvillkoret

$$\psi (\vec r+N_i\vec a_i)=\psi(\vec r),\quad i=1,2,3$$

Då kan $\psi(\vec r)$ utvecklas som en Fourierserie:

$$\psi(\vec r)=\sum_{\vec q} c_{\vec q} e^{i\vec q\cdot \vec r},$$
förutsatt att $\vec q$ är en vektor av typen

$$\vec q=\sum_{i=1}^{3}\frac{m_i}{N_i}\vec b_i,\quad m_i\quad {\rm
heltal}$$

Potentialfunktionen $u(\vec r)$ är periodisk inom Bravaisgittret, och
kan därför skrivas som en Fourierserie:

$$u(\vec r)=\sum_{\vec K}U_{\vec K}e^{i\vec K \cdot \vec r}.$$
Här löper $\vec K$ över vektorerna i det reciproka gittret.\\

Fourierkomponenterna $U_{\vec K}$ är

$$U_{\vec K}={1\over v}\int_{cell}d^3r e^{-i\vec K \cdot \vec r}U(\vec
r)$$
Då potentialfunktionen är reell är

$$U_{\vec K}^{*}={1\over v} \int d^3r e^{i\vec K \cdot \vec r}U(\vec
r)=U_{-\vec K}$$
Om kristallen är symmetrisk vid reflexion av koordinataxlarna är

$$U(\vec r)=U(-\vec r)$$
så att
$$U_{-\vec K}=U_{\vec K}= U_{\vec K}^{*}.$$
Schrödingerekvationen är

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi +U(\vec r) \psi= \varepsilon \psi$$
Fourierserierna ger följande resultat:

$$-\frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 \psi=\sum_{q} \frac{\hbar^2}{2m}\vec
q^2 e^{i\vec q \cdot \vec r},$$
$$U\psi=\sum_{\vec K} U_{\vec K} e^{i\vec K \cdot \vec r}\sum_{q}
c_q e^{i\vec q \cdot \vec r}$$
$$=\sum_{\vec K \vec q}U_{\vec K} c_{\vec q} e^{i(\vec K+\vec q)\cdot
\vec r}$$
$$=\sum_{\vec K \vec q'}U_{\vec K}c_{\vec q'-\vec K}e^{i\vec q' \cdot
\vec r}$$
Insättning i Schrödingerekvationen leder till

$$\sum_{\vec q} e^{i\vec q \cdot \vec r}\{({\hbar^2 \over 2m} \vec q^2
-\varepsilon) c_{\vec q} +\sum_{\vec K'}U_{\vec K'}c_{\vec q-\vec
K'}\}=0$$
Denna ekvation bör gälla för alla värden på $\vec r$, vilket bara är
möjligt ifall koefficienterna för faktorerna $e^{i\vec q \cdot \vec
r}$ är $0$:

$$(\frac{\hbar^2}{2m} \vec q^2-\varepsilon)c_{\vec q}+\sum_{\vec K'}
U_{\vec K'} c_{\vec q-\vec K'}=0.$$
Vektorn $\vec q$ kan skrivas som summan av en vektor $\vec k$ inom
Wigner-Seitz elementarcellen av det reciproka gittret och en vektor
$\vec K$ utom denna. Wigner-Seitz elementarcellen i det reciproka
gittret kallas den första Brillouin-zonen:

$$\vec q=\vec k-\vec K.$$
Schrödingerekvationen blir då
$$(\frac{\hbar^2}{2m}(\vec k-\vec K)^2-\varepsilon)c_{\vec k-\vec K}+\sum_{\vec
K'} U_{\vec K'} c_{\vec k-\vec K-\vec K'}=0$$
eller med $\vec K' \rightarrow \vec K'-\vec K$

$$(\frac{\hbar^2}{2m}(\vec k-\vec K)^2-\varepsilon)c_{\vec k-\vec
K}+\sum_{\vec K'}U_{\vec K'-\vec K}c_{\vec k-\vec K'}=0.$$
Detta är ett kopplat homogent algebraiskt ekvationssystem för
koefficienterna $c_{\vec kn}$ för varje $\vec k$-vektor inom den
första Brillouin-zonen. Det finns $N$ st. sådana - dvs. lika många som
antalet elementarceller i Bravaisgittret.\\

Då $\vec q=\vec k,\vec k-\vec K',\vec k-\vec K''$ gäller att

$$\psi_{\vec k}=\sum_{\vec K} c_{\vec k-\vec K}e^{i(\vec k-\vec
K)\cdot \vec r}.$$
$$\psi_{\vec k}(\vec r)=e^{i\vec k \cdot \vec r} \sum_{\vec K}c_{\vec
k-\vec K}e^{i\vec K \cdot \vec r}$$
$$\equiv e^{i\vec k \cdot \vec r} u(\vec r)$$
Detta är Bloch's teorem då $U(\vec r)=U(\vec r+\vec R)$.\\

Energitillstånden är fullständigt beskrivna då $\vec k$ tar alla
tillåtna värden i en elementarcell i det reciproka gittret. Tillstånd
med samma vågfunktion och energi fås om till $\vec k$ adderas en
vektor $\vec K$ i det reciproka gittret:

$$\psi_{n,\vec k+\vec K}(\vec r)=\psi_{n\vec k}(\vec r),$$
$$\varepsilon_{n,\vec k+\vec K}=\varepsilon_{n\vec k}$$
Energinivåerna kan då betraktas som periodiska funktioner:

$$\varepsilon_n(\vec k)=\varepsilon_n(\vec k+\vec K).$$
Energitillstånden för givet $n$ kallas ett "energiband". Notera att
$\epsilon_n(\vec k)$ är en kontinuerlig funktion av $\vec k$. Varje
energiband har en övre och en nedre gräns.\\

\vspace{4cm}

Grundtillståndet för $N$ fria elektroner är det tillstånd i vilket
alla nivåer med energi mindre än $\varepsilon_F$ är ockuperade:

$$\varepsilon (\vec k)=\frac{\hbar^2k^2}{2m}<\varepsilon_F.$$

För Bloch-elektroner är energin en mer komplicerad funktion av $k$.\\

Ifall ett visst antal band är fullt upptagna och de andra är tomma är
systemet en isolator. Ifall avståndet mellan det översta upptagna och
det lägsta tomma bandet är av storleksordningen $k_BT$ är systemet en
halvledare.\\

Ifall ett antal band är ofullständigt ockuperade är fermi-nivån
$\varepsilon(\vec k)$ en komplicerad yta. Sådana system är
elektriskt ledande.
\end{document}
