\documentstyle[12pt]{article}

\begin{document}

{\bf 2. Fasta ämnens kristallstruktur}\\
\vspace{0.3cm}

{\bf 2.1. Bravaisgittret}\\
\vspace{0.5cm}

Den generella definitionen av ett fast ämne är ett ämne vars atomer
eller molekyler har tidsinvarianta medelpositioner.\\

De enklaste fasta ämnena är de s.k. kristallina ämnena vars struktur är
periodisk. Atompositionerna i sådana ämnen kan beskrivas med hjälp av
det s.k. Bravaisgittret, som definieras som de punkter (eller
vektorer)som beskrivs med formeln

$$\vec R=n_1\vec a_1 +n_2 \vec a_2 + n_3 \vec a_3.$$
Här är $\vec a_1, \vec a_2$ och $\vec a_3$ konstanta vektorer som
t.ex. anger avståndet från "origo" till tre närbelägna atomer, och
$n_1,n_2$ och $n_3$ är heltal. Varje atomposition i Bravaisgittret
beskrivs då av en heltalskombination $\{n_1,n_2,n_3\}$.\\

Den periodiska strukturen framgår av ett kristallens egenskaper är
lika i punkterna $\vec r$ och $\vec r'$, som är relaterade genom

$$\vec r'=\vec r+n_1\vec a_1+n_2 \vec a_2+n_3 \vec a_3.$$

Periodiciteten gör att en kristalls dynamiska beteende kan beskrivas
om beteendet inom en enda elementarcell är känt.
Elementarcellen definieras (t.ex) som den största operiodiska
strukturen i kristallen. I allmänhet väljs basvektorerna $\vec a_1,
\vec a_2$ och $\vec a_3$ så att de beskriver en elementarcell.\\

Fasta ämnen som inte är kristallina kallas ${\bf amorfa}$ fasta ämnen.
Sådana kan betraktas som vätskor med mycket stor viskositet. Bristen
på translationssymmetri gör teorin för amorfa fasta ämnen mycket mer
komplicerad än teorin för kristallina ämnen.\\

Valet av basvektorer och elementarcell är inte unikt. I ämnen med
enkel kristallstruktur finns det dock i allmänhet ett naturligt val.
Det enklaste är kubiska kristaller, där basvektorerna kan väljas så
att de bildar ett ortogonalt Cartesiskt koordinatsystem $a \vec i, a\vec j,
a\vec k$. Koordinatsystemet kan dock i detta exempel lika väl
centreras på en hörnpunkt som på kubernas mittpunkt.\\

Ifall mittpunkterna i det kubiska gittret är upptagna av atomer kallas
gittret en rumscentrerad kubisk kristall (bcc: body centered). I så
fall bör basvektorerna väljas som (t.ex) 

$$\vec a_1=a\vec i,$$
$$\vec a_2=a\vec j,$$
$$\vec a_3=\frac{a}{2}(\vec i + \vec j +\vec k).$$

\vspace{4cm}

Ett alternativt val vore

$$\vec a_1={a\over 2} (\vec j + \vec k-\vec i),$$
$$\vec a_2={a\over 2} (\vec k +\vec i -\vec j),$$
$$\vec a_3={a\over 2}(\vec i+\vec j-\vec k).$$

Ifall däremot mittpunkterna på sidorna av kuberna är upptagna kallas
gittret ett ytcentrerat kubiskt gitter (fcc: face centered).

\noindent
Basvektorerna för det ytcentrerade kubiska gittret kan väljas som

$$\vec a_1={a\over 2}(\vec j+\vec k),$$
$$\vec a_2={a\over 2}(\vec k+\vec i),$$
$$\vec a_3={a\over 2}(\vec i+\vec j).$$

\vspace{4cm}

\begin{center} 

\begin{tabular}{cc}
 $bcc$ \\ \hline
 & a(Å) \\
Ba & 5.02 \\
Cr & 2.88 \\
Cs & 6.02 \\
Fe & 2.87 \\
K & 5.23 \\
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{cc}
$fcc$ \\ \hline
 & a(Å) \\
Ar & 5.26 \\
Ag & 4.09 \\
Al & 4.05 \\
Au & 4.02 \\
Ca & 5.58 \\
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1cm}

En enhetscell som innehåller en enda gitterpunkt kallas en primitiv
enhetscell. En sådan har inte nödvändigtvis samma symmetri som
gittret. Därför används i praktiska beräkningar enhetsceller med flere
gitterpunkter men som har kristallens symmetri.

\vspace{4cm}

Den s.k. Wigner-Seitz -enhetscellen definieras som mängden av de
punkter som ligger närmare en given gitterpunkt än någon annan
gitterpunkt. Denna har kristallens hela symmetri.\\

\vspace{1.5cm}
{\bf 2.2. Det reciproka gittret}\\
\vspace{0.5cm}

Låt $\vec R=n_1 \vec a_1 +n_2 \vec a_2+n_3 \vec a_3$ bilda ett
Bravaisgitter. De punkter $\vec K$ som satisferar ekvationen

$$e^{i\vec K \cdot \vec R}=1$$
bildar då det s.k. reciproka gittret. Dessa "vågvektorer" har den
egenskapen att

$$e^{i\vec K[\vec r+\vec R]}=e^{i\vec K \cdot \vec r}$$
för alla värden på $\vec r$ och $\vec R$.\\

I ett endimensionellt fall är

$$\vec R \rightarrow X=na$$
och
$$e^{iKna}=1 \rightarrow \quad Kna=2\pi N;$$
$$K=\frac{2\pi}{na}N,\; n,N\; heltal$$

Basvektorerna i det reciproka gittret kan definieras som

$$\vec b_1=2\pi \frac{\vec a_2 \times \vec a_3}{\vec a_1 \cdot \vec a_2
\times \vec a_3},$$
$$\vec b_2=2\pi \frac{\vec a_3 \times \vec a_1}{\vec a_1 \cdot \vec
a_2 \times \vec a_3},$$
$$\vec b_3=2\pi \frac{\vec a_1 \times \vec a_2}{\vec a_1 \cdot \vec
a_2 \times \vec a_3}.$$
För dessa gäller att
$$\vec b_i \cdot \vec a_j=2\pi \delta_{ij}.$$
En punkt i det reciproka gittret kan beskrivas som

$$\vec K=k_1\vec b_1+k_2\vec b_2+k_3\vec b_3.$$
Av
$$\vec R=n_1 \vec a_1+n_2 \vec a_2 + n_3\vec a_3$$
följer att
$$\vec K \cdot \vec R= 2\pi [k_1 n_1+k_2 n_2+k_3 n_3]$$
Då $\vec K \cdot \vec R$ bör vara $2\pi$ gånger ett heltal för alla
kombinationer av $k_1 k_2 k_3$ måste dessa vara heltal. Detta innebär
att det reciproka gittret också är ett Bravais-gitter. Dettas
reciproka gitter är det ursprungliga Bravais-gittret (naturligt
nog).\\

För att kubiskt gitter med

$$\vec a_1=a\vec i,\;\vec a_2=a\vec j,\; \vec a_3=a\vec k$$
är det reciproka gittret

$$\vec b_1={2\pi \over a} \vec i,\; \vec b_2=\frac{2\pi}{a} \vec j,\; \vec
b_3=\frac{2\pi}{a} \vec k.$$

Det reciproka gittret för ett ytcentrerat($fcc$) kubiskt gitter är ett
rumscentrerat $(bcc)$ kubiskt gitter och vice versa:

$$fcc:\vec a_1=\frac{a}{2}(\vec i+\vec j),\;\vec a_2={a\over 2}(\vec
j+\vec k),\; \vec a_3={a\over 2}(\vec i+\vec j);$$
$$\Rightarrow \vec b_1=\frac{4\pi}{a}{1\over 2}(\vec j+\vec k-\vec
i),\;\vec b_2=\frac{4\pi}{a} {1\over 2}(\vec k+\vec i-\vec j),\; \vec
b_3=\frac{4\pi}{a} {1\over 2} (\vec i+\vec j-\vec k)$$

\vspace{1cm}

\noindent
{\bf Exempel}\\

$$\vec b_2 \times \vec b_3=(2\pi)^2\frac{1}{(\vec a_1\vec a_2\vec a_3)^2}
\underbrace{(\vec a_3 \times \vec a_1) \times (\vec a_1 \times 
\vec a_2)}_{\vec a_1(\vec a_3 \times
\vec a_1 \cdot \vec a_2)}$$
$$=(2\pi)^2\frac{\vec a_1}{(\vec a_1\vec a_2\vec a_3)}$$
$$\vec b_1 \cdot \vec b_2 \times \vec b_3=(2\pi)^3\frac{\vec a_2 \times
\vec a_3}{(\vec a_1 \vec a_2
\vec a_3)} \cdot \frac{\vec a_1}{(\vec a_1 \vec a_2 \vec a_3)}$$
$$=(2\pi)^3\frac{1}{(\vec a_1 \vec a_2 \vec a_3)} \quad (*)$$
$$2\pi \frac{\vec b_2 \times \vec b_3}{b_1 b_2 b_3}=2\pi (2\pi)^2
\frac{\vec a_1}{\vec a_1 \vec a_2 \vec a_3}\frac{1}{(2\pi)^3} \vec a_1
\vec a_2 \vec a_3$$
$$=\vec a_1$$

(*) Härav följer att om enhetscellen har volymen $v=[\vec a_1 \vec a_2
\vec a_3]$ så
är volymen för enhetscellen i det reciproka gittret $(2\pi)^3/v$.\\

\vspace{1.5cm}

{\bf 2.3. Kristallplan}\\
\vspace{0.5cm}

Ett kristallplan (eller gitterplan) i ett Bravaisgitter definieras som
ett plan som innehåller minst tre gitterpunkter. I ett kubiskt gitter
bildar kubens ytor givetvis sådana plan, men också kubens olika
diagonaler.\\

\vspace{4cm}

\noindent
Parallella kristallplan bildar en familj av kristallplan som omfallar alla
punkter i gittret.\\

Kristallplanen kan definieras med hjälp av vektorerna i det reciproka
gittret. \\

För varje familj av kristallplan som åtskiljs av ett avstånd $d$ finns
vektorer i det reciproka gittret som är ortogonala mot planen. Den
kortaste av dessa har längden $2\pi/d$. Omvänt gäller att mot varje
vektor $\vec K$ i det reciproka gittret det finns en familj av
kristallplan, som är ortogonala mot $\vec K$, och som 
åskiljs av ett avstånd $d$, där $2\pi/d$ (reciproka) gittervektorn,
som är parallell med $\vec K$.\\

Bevis: Låt $\hat n$ vara enhetsnormalen till en familj av kristallplan
och definiera $\vec K \equiv 2\pi \hat n/d$. Om $\vec r=\vec \Lambda+\vec
\xi$ där $\vec \xi \bot \vec K$ gäller då att

$$e^{i \vec K \cdot \vec r}=e^{i \vec K \cdot \vec \Lambda}={\rm
konstant}$$
på plan som är ortogonala mot $\vec K$. Dessutom gäller att 
denna konstant har samma värde för alla plan som
åtskiljs av avståndet $2\pi/K=d:\quad \vec \Lambda=\vec \Lambda +\hat
n {2\pi \over K} =\vec \Lambda +\hat nd$. Då origo $(\vec \Lambda=0)$
måste falla på et av planen gäller vidare att $e^{i\vec K \cdot \vec
r}=1$ på alla plan.\\

Då planen innehåller alla punkter $\vec R$ i Bravaisgittret, gäller

$$e^{i \vec K \cdot \vec R}=1$$
för alla $\vec R$-värden, och därigenom är $\vec K$ en punkt i det
reciproka gittret. $\vec K$ är dessutom den kortaste vektorn i det
reciproka gittret $QED$.\\

Det omvända teoremet kan bevisas på följande sätt: Låt $\vec K$ vara
den kortaste vektorn i det reciproka gittret. Betrakta alla de plan
på vilka $e^{i\vec K\cdot \vec r}=1$. Dessa plan är ortogonala mot $\vec K$ och
ett av den innehåller $\vec r=0$. Planens avstånd från varandra är
$d=2\pi/K$. Då Bravaisgitterpunkterna $\vec R$ satisfierar $e^{i\vec K
\cdot \vec R}=1$ måste dessa höra till de betraktade planen.\\

Avstånden mellan dessa gitterplan är också $d$, ty om det vore $Nd$,
skulle normalvektor med längden $2\pi/Nd (\vec K/N)$ höra till det
reciproka gittret. Detta skulle strida mot antangendet att $\vec K$ är
den kortaste vektorn i det reciproka gittret.\\

\vspace{1cm}

{\bf Kristallplanens Miller-index}\\
\vspace{0.5cm}

Kristallplanen kan beskrivas med en normalvektor. Konventionen är att
använda den kortaste vektorn i det reciproka gittret som är ortogonal
mot de ifrågavarande kristallplanen. Ett kristallplan med de s.k.
Miller-indexen $h,k,l$ är ett normalplan till en vektor

$$h\vec b_1+k\vec b_2+l \vec b_3$$
i det reciproka gittret. Heltalen $h,k$ och $l$ bör inte ha någon
gemensam heltalsdivisor då vektorn bör vara den kortaste vektorn som
är normal mot kristallplanen.\\

För ett kubiskt gitter gäller att det reciproka gittret också är ett
kubiskt gitter, och då väljs Miller-indexen som koordinaterna för en
normalvektor i det naturliga kartesiska koordinatsystemet vars axlar
sammanfaller med tre av kubens kanter.\\

$fcc$ och $bcc$ -gittren beskrivs i allmänhet också med hjälp av en
kubisk enhetscell. För dessa är motsvarande enhetscell i det reciproka
gittret också kubiska, och därför kan samma koordinatsystem användas
för Miller-indexen som i det ursprungliga gittret.\\

Miller-indexen kan också ges en geometrisk tolkning i det
ursprungliga Bravaisgittret. Ett "plan" ($hkl$) är ortogonalt mot
vektorn

$$\vec K=h \vec b_1+k\vec b_2 +l\vec b_3.$$
Detta kommer att innehållas i "skivan" $\vec K \cdot \vec r=A$ för ett
visst värde på $A$. Detta plan kommer att skära koordinataxlarna($\vec
a_1, \vec a_2, \vec a_3$) i punkterna $x_1 \vec a_1,\;x_2 \vec
a_2,\;x_3 \vec a_3$

\vspace{4cm}

Punkterna $x_i$ bör satisfiera ekvationen $\vec K \cdot (x_i \vec a_i)=A$. Då
$\vec K \cdot a_1=2\pi h,\; \vec K \cdot \vec a_2=2\pi k,\; \vec K
\cdot \vec a_3=2\pi l$ gäller att

$$x_1=\frac{A}{2\pi h},\; x_2=\frac{A}{2\pi k},\; x_3=\frac{A}{2\pi
l}$$
På grund av detta kan Miller-indexena likaväl definieras, som den
heltalstriplett utan gemensam heltalsdivisor som är omvänt 
proportionell mot $x_1, x_2,x_3$:

$$h:k:l={1\over x_1}:{1\over x_2}:{1\over x_3}$$
Miller-indexen betecknas ($hkl$). Ett (4,-2,1) plan är ett plan som
skär koordinataxlarna i punkterna $1,-2,4$ (i ett kubiskt system).
Negativa tal betecknas $-2 \equiv \bar 2$. Riktningar i det
ursprungliga gittret betecknas $[abc]$. En klass av ekvivalenta
kristallplan betecknas $\{hkl\}$.\\

\vspace{4cm}

{\bf 3. Röntgendiffraktion från kristaller}\\
\vspace{0.5cm}

De interatomära avstånden i kristaller är av storleksordningen
$1Å=10^{-10}m$. För att elektromagnetisk strålning skall uppvisa
diffraktionseffekter i kristaller bör dess våglängd vara av samma
storleksordning. Detta motsvarar en energi av storleken 10 KeV:

$$\hbar \omega=h\nu=\frac{h c}{\lambda}=\frac{2\pi \hbar
c}{\lambda}$$
$$\frac{2\pi\cdot 197 MeV fm}{10^5 fm}=12.3 \cdot 10^3 eV$$
Strålning med energi i området 1-500 KeV kallas röntgenstrålning.\\

\vspace{1.5cm}

{\bf Röntgendiffraktion från kristallplan}\\
\vspace{0.5cm}

Bragg's förklaring av röntgenstrålning är baserad på antagandet att
strålningen reflekteras från kristallplan. Spridning av den inkommande
strålningen från successiva plan leder till interferens.

\vspace{6cm}

Konstruktiv interferens förutsätter att skillnaden i optisk väglängd
mellan strålar från två skilda kristallplan är en heltalsmultipel av
våglängden:

$$2d sin \theta=n\lambda$$
$$n={\rm heltal}.$$
Heltalet $n$ kallas reflexionens ordningstal. En makroskopisk kristall
ger upphov till reflexion av många olika ordningar. Ifall
röntgenstrålningen inte är monokromatisk uppträder samtidigt
reflexion från många olika kristallplan med olika $d$-värden.\\

\vspace{1.5cm}

{\bf von Laue's beskrivning av röntgendiffraktion}\\
\vspace{0.5cm}

En mikroskopisk beskrivning av röntgendiffraktion bör baseras på
spridning av den inkommande strålningen från enskilda atomer. Den
infallande strålningen absorberas av kristallatomerna och inducerar
oskillationer i dessa. Dessa oskillationer - främst av dipoltyp -
avger strålning i olika riktningar. Den avgivna strålningen från olika
atomer kommer att interferera med varandra. Konstruktiv interferens
uppträder bara i vissa diskreta riktningar, som visar sig
överensstämma med den reflexion som kristallplan ger upphov till.\\

Betrakta t.ex. två punkter i Bravaisgittret som åtskiljes av en
Bravaisgittervektor $\vec d$:

\vspace{4cm}

Antag att den inkommande strålningen är monokromatisk med vågvektorn $\vec
k_0$. Betrakta den strålning som avges av kristallatomerna med
vågvektorn $\vec k$.\\

\noindent
Konstruktiv interferens förutsätter att 

$$d cos \theta' - d cos \theta=m\lambda,$$
där $m$ är ett heltal och $\lambda$ är strålningens våglängd. Detta
villkor kan uttryckas i formen

$$\vec d \cdot \hat k-\vec d \cdot \vec k_0=m \lambda;$$
Då våglängden inte förändras i spridningen är $|\vec k|=|\vec k_0|$
och

$$\vec d \cdot \vec k -\vec d \cdot \vec k_0=m\lambda k.$$
Sambandet mellan vågvektor och våglängd är

$$\lambda k=2\pi,$$
så att

$$\vec d \cdot (\vec k-\vec k_0)=m(2\pi). $$
Vektorn $\vec k-\vec k_0$ är normal till det plan som skulle
reflektera den infallande strålningen från riktningen $\vec k_0$ till
riktningen $\vec k$: Detta plan kallas reflexionsplanet (eller
Braggplanet)\\

Betrakta en familj av spridande atomer i Braivaisgittret som kan
beskrivas med gittervektorerna $\vec R$. Villkoret för att de
emitterade vågorna från alla dessa atomer skall interferera
konstuktivt är då

$$\vec R \cdot (\vec k-\vec k_0)=2\pi m.$$
Detta är ekvivalent med villkoret
$$e^{i(\vec k-\vec k_0) \cdot \vec R}=1$$
för vektorerna $\vec R$ i Bravaisgittret. Detta innebär att vektorn
$\vec k-\vec k_0=\vec K$ bör vara en vektor i det reciproka gittret
för att konstruktiv interferens skall inträffa. I såfall är $\vec K$
normal till ett kristallplan, varav följer att reflexionsplanet är ett
kristallplan. Detta är den mikroskopiska härledningen av Braggs lag.\\

\vspace{1.5cm}

{\bf Empiriska metoder för röntgendiffraktion}\\
\vspace{0.5cm}

För godtyckliga vågvektorer gäller givetvis inte villkoret för
konstruktiv interferens och att en Bragg-intensitetspik uppträder.
Förutsättningen att vektorn $\vec k-\vec k_0 =\vec K$ skall höra till
det reciproka gittret kan illustreras geometriskt med hjälp av Ewalds
sfär. Denna uppritas kring $\vec k_0:s$ ändpunkt med radien $|\vec
k|$ så att $\vec k$ utgår från origo som är en punkt i det reciproka
gittret.

\vspace{4cm}

\noindent
Ifall Ewaldsfärens yta går genom en punkt i det reciproka gittret
förutom origo uppträder en Braggpik.\\

\noindent
Detta innebär att ingen diffraktion inträffar för de flesta 
värden på $|\vec k_0|$. 
Standardmetoderna för att åstadkomma
diffraktion är följande:

\vspace{1cm}

{\bf 1. Von Laue's metod}\\
\vspace{0.5cm}

Användning av ett strålningsspektrum med våglängden i ett ändligt
intervall $\lambda_0 \leq \lambda \leq \lambda_1$ leder till
diffraktion från alla de punkter i det reciproka gittret som 
faller mellan Ewaldsfärerna med radierna
$2\pi/\lambda_1$ och $2\pi/\lambda_0$.

\vspace{4cm}

\noindent
Ifall den infallande strålningen är parallell med en symmetriaxel i
kristallen kommer fördelningen av Braggpunkter att ha samma symmetri.

\vspace{5cm}

\noindent
von Laue-spektrum.

\vspace{1.5cm}
{\bf 2. Roterande kristall}\\
\vspace{0.5cm}

Om strålningen är monokromatisk, men kristallen roterar kommer det reciproka
gittret att rotera genom Ewaldsfären. Detta leder också till
diffraktion vid vissa diskreta riktningar. I denna metod roterar
kristallen kring en fixerad axel. I princip kan man rotera den
infallande strålningens riktning i stället för kristallen.\\

\vspace{1cm}
{\bf 3. Debye-Scherrer-metoden}\\
\vspace{0.5cm}

Debye-Scherrer-metoden är baserad på rotation av kristallen
över alla riktningar i det tredimensionella rummet. I praktiken
åstandkommes denna rotation genom att strålmålet består av ett krossat
kristallint pulver i vilket alla kristallorienteringar är
representerade.\\

I denna metod roteras det reciproka gittret genom alla riktningar för
Ewaldsfären. \\

\vspace{4cm}

\noindent
Detta innebär att varje vektor $\vec K=\vec k-\vec k$ beskriver en
sfär kring origo. Denna sfär skär Ewaldsfären i en cirkel. Då
$$K=2k sin {\theta \over 2},$$
kommer röntgenstrålning att avges i en kon kring den infallande
strålningens riktning. Spridningsvinklarna ger av villkoret 

$$K=2k sin {\theta \over 2}.$$
Metoden leder till en bestämming av längden alla vektorer i det
reciproka gittret vars längd är mindre än $K$.\\

\vspace{1.5cm}

{\bf Strukturfaktorn för en kristall}\\
\vspace{0.5cm}

Amplituden för den strålning som avges av en kristall innehåller
faktorn 

$$S_{\vec K}=\sum_{j=1}^{N} e^{i \vec K \cdot \vec d_j},\quad
\vec K=\vec k-\vec k$$
där $\vec d j$ anger atompositionerna i kristallen. Denna faktor
kallas kristallens strukturfaktor och innehåller all den geometriska
information som kan ges genom spridning av strålning från
kristallen.\\

Vid röntgendiffraktion uppmätes i allmänhet strålningens intensitet
som är proportionell mot strukturfaktorns komplexa kvadrat:

$$|S_{\vec K}|^2.$$
Huvudproblemet inom kristallografin är konstruktionen av $S_{\vec K}$
genom anpassning av modellgeometrier till $|S_{\vec K}|^2$.



\end{document}
