\documentstyle[12pt]{article}

\begin{document}

{\bf 18. Supraledning}
\vspace{0.5cm}

Ett stort antal grundämnen och kristallina kemiska föreningar förlorar
sin elektriska resistivitet och blir "supraledande" vid låga
temperaturer. Kännetecknande för supraledande ämnen är att de är
perfekta diamagneter - dvs de utesluter magnetiska fält fullständigt,
och att supraledningsförmågan försvinner i ett tillräckligt starkt
yttre magnetiskt fält.\\

För supraledarna gäller vidare att energifördelningen har ett ändligt
tomt intervall $\Delta$ "Energy-gap" vid Fermienergin, vilket innebär
att elektroner kan flyttas till ett "ledningsband" bara om de tillförs
en energimängd som överstiger $\Delta$. Laddningen transporteras i
supraledare av elektronpar som beter sig som om de vore bundna till
varandra med en attraktiv kraft.\\

Supraledningsförmåga uppträder för de flesta supraledande ämnena bara
under en s.k. kritisk temperatur som är av storleksordningen $20K$.
Supraledningsförmåga vid högre temperaturer uppvisas bara av ett antal
komplicerade metalloxider dopade med olika lantanider.\\

För alla supraledare gäller att supraledningsförmågan försvinner vid
ett tillräckligt starkt yttre magnetiskt fält. Vidare gäller att
supraledare bara kan bära begränsade strömtätheter och att
supraledningsförmågan försvinner då strömtätheten överstiger en
kritisk gräns. Den kritiska strömtäthetens värde sammanhänger med den
kritiska magnetiska fältstyrkan. Strömtätheten ger upphov till ett
magnetiskt fält vars styrka inte får överstiga det den kritiska
fältstyrkans värde på supraledarens yta.\\

Supraledare kan också bära växelström, sålänge dennas frekvens uppfyller
villkoret

$$\hbar \omega <\Delta,$$
där $\Delta$ är det tomma energi-intervallet vid Fermiytan.\\

Supraledarna indelas i 2 olika typer. Den enklare typen $(I)$
kännetecknas av förekomsten av ett väldefinierat, kritiskt 
magnetiskt fält $H_c(T)$,
som har ett maximalt värde vid $T=0$ och som blir $0$ då $T=T_c$.\\

I supraledarna av typ $II$ finns två skilda kritiska fältnivåer:
$H_{c1}<H_{c2}$. För fältstyrkor som är mindre än $H_{c1}$ utesluts det
magnetiska fältet fullständigt från supraledaren. För fältstyrkor $H$ i
mellanområdet: $H_{c1}<H<H_{c2}$ genomtränger det magnetiska fältet
partiellt supraledaren, medan supraledningsförmågan försvinner. I
mellanområdet är det magnetiska fältet inom supraledaren koncentrerat
till smalla trådartade områden som kallas vortexlinjer. Dessa bildar
ett regelbundet gitter av parallella linjer.\\

Energinivåtomrummet ovanför Fermi-energin i supraledare kan
demonstreras genom att belasta en fog mellan en supraledare och en
normal ledare med en spänningsskillnad. Om fogen är ett tunnt isolerande
skikt kan
elektroner tränga genom fogen den p.g.a. kvantmekaniska tunneleffekten.
Det visar
sig att tunnelströmmen uppträder först då spänningsskillnaden
över fogen överstiger värdet $\Delta V=\Delta/e$, där $\Delta$ är
"energigapets" storlek.

\vspace{1cm}

{\bf 18.2 London's ekvation}
\vspace{0.5cm}

Den fenomenologiska beskrivningen av supraledare utgår från antagandet
att elektronerna i en supraledare bildar två skilda elektronsystem -
ett supraledande och ett normalt. Den supraledande och den normala
elektrongasens densiteter $n_s$ och $n_n$ bildar den totala
elektrontätheten $n$:

$$n_s+n_n=n.$$
Vid $T=0$ är $n_s=n$ och vid $T=T_c$ är $n_s=0$.\\

Den supraledande komponenten av elektrongasen, som saknar resistivitet,
responderar mycket snabbare till transienta fält än den normala
komponenten. Då den supraledande strömmmen saknar dissipation gäller
den klassiska rörelselagen
för den genomsnittliga hastigheten för de supraledande elektronerna i
ett elektriskt fält:

$$m\frac{d\vec v_s}{dt}=-e\vec E$$
Den supraledande strömtätheten är

$$\vec j=-e\vec v_sn_s,$$
varigenom

$$\frac{d\vec j}{dt}=\frac{n_se^2}{m}\vec E.$$
Fouriertranformation leder till 

$$\vec j(\omega)=i\frac{n_se^2}{m\omega}\vec E,$$
varigenom den frekvensberoende konduktiviteten blir

$$\sigma(\omega)=i\frac{n_se^2}{m\omega}.$$
Enligt Faradays lag är

$$\nabla \times \vec E={1\over c}\frac{\partial \vec B}{\partial t}.$$
Genom att ersätta $\vec E$ med $d\vec j/dt$ fås

$$\frac{\partial}{\partial t}(\vec \nabla \times \vec
j+\frac{n_se^2}{mc}\vec B)=0.$$
Maxwells ekvation för den magnetiska induktionen är

$$\nabla \times \vec B={4\pi \over c}\vec j,$$
ifall den dielektriska förskjutningsströmmen bortlämnas.\\

Ett godtyckligt statiskt magnetiskt fält $\vec B$ leder till en
motsvarande statisk strömtäthet $\vec j$ genom denna ekvation. I
såfall är Faraday's induktionslag automatiskt satisfierad. För
beskrivningen av supraledare som inte tillåter statiska magnetiska
fält måste ett ytterligare villkor tillfogas. Ett sådant är den s.k.
London-ekvationen, som postuleras för supraledare:

$$\nabla \times \vec j+\frac{n_se^2}{mc}\vec B=0.$$
Kombination av denna ekvation och Maxwellekvationen

$$\nabla \times \vec B={4\pi \over c}\vec j$$
leder till Meissner-effekten:

$$\nabla \times (\nabla \times \vec B)=-\nabla^2\vec B={4\pi \over
c}\nabla \times \vec j$$
$$=\frac{4\pi n_se^2}{mc^2}\vec B.$$
Både magnetiska induktionen och strömtätheten satisfierar därigenom
samma Helmholtz-ekvationer:

$$\left\{ \begin{array}{c} \nabla^2\vec B-{1\over \Lambda^2} \vec B=0,
\\ \nabla^2\vec j-{1\over \Lambda^2}\vec j=0. \end{array} \right.$$
Här har parametern $\Lambda$ definierats som

$$\Lambda=\sqrt{\frac{mc^2}{4\pi n_s e^2}}=41.9 ({r_s\over
a_0})^{3/2}({n\over n_s})^{1/2}Å.$$
$\Lambda$ representerar den s.k. penetrationslängden för det
magnetiska fältet i supraledaren. Om ytan för det supraledande
materialet är $z=0$, med supraledaren i området $z>0$ och $\vec
B(0)=\vec B_0$, blir Helmholtzekvationen för fältkomponenterna

$$\frac{d^2}{dz^2}\vec B-{1\over \Lambda^2}\vec B=0,$$
vars lösning är

$$\vec B(z)=\vec B_0 e^{-z/\Lambda},\quad z\geq 0.$$
Detta resultat visar att det magnetiska fältet bara kan tränga in i
supraledaren i ett ytskikt vars storleksordning är $\sim 100Å$.

\vspace{1cm}

{\bf 18.2 Den mikroskopiska beskrivningen av supraledningsförmåga}
\vspace{0.5cm}

Laddningsbärarna i supraledare är elektronpar som är bundna av en
effektiv växelverkan som uppstår genom kopplingen till jonerna. Denna
effektiva växelverkan kan beskrivas som en typ av avskärmad
Coulomb-växelverkan.\\

I beskrivningen av avskärmningen av den effektiva växelverkningen i en
elektrongas utgick vi från beräkningen av den effektiva dielektriska
konstanten som dämpar potentialfältet kring en jon:

$$\epsilon^{el}\phi^{tot}=\phi^{ext}+\phi^{jon}.$$
På samma sätt kan man beskriva avskärmningen av en elektronisk
laddning i ett jonsystem:

$$\epsilon^{jon}\phi^{tot}=\phi^{ext}+\phi^{el}.$$
Om den totala permittiviteten definieras som 

$$\epsilon \phi=\phi^{ext}$$
fås 
$$(\epsilon^{el}+\epsilon^{jon}-\epsilon)\phi^{tot}=
\phi^{ext}+\phi^{el}+\phi^{jon},$$
och då

$$\phi^{tot}=\phi^{ext}+\phi^{el}+\phi^{jon}$$
fås

$$\epsilon=\epsilon^{el}+\epsilon^{jon}-1$$
Här antas jonerna beskrivna som enskilda partiklar. En annan
beskrivning vore att betrakta "klädda" joner - dvs. joner med
omgivande inducerad elektronfördelning. I detta fall kan den totala
permittiviteten beskrivas som en produkt:

$$\epsilon=\epsilon^{el}\epsilon_{*}^{jon},$$
där $\epsilon_{*}^{jon}$ är den dielektriska permittiviteten i ett
system av "klädda" joner. Jämförelse av de båda uttrycken för
$\epsilon$ leder till

$$\epsilon_{*}^{jon}=1+{1\over \epsilon^{el}}(\epsilon^{jon}-1).$$

För en fri elektrongas i metaller gäller vid höga frekvenser att

$$\epsilon_0^{el}=1-{\omega_p^2 \over \omega^2},$$
där $\omega_p$ är plasmafrekvensen

$$\omega_p^2={4\pi n e^2 \over m}.$$

För en fri gas av joner gäller givetvis ett liknande uttryck:

$$\epsilon^{jon}=1-{\Omega_p^2 \over \omega^2}.$$
Här är $\Omega_p$ jonernas plasmafrekvens:

$$\Omega_p=\frac{4\pi n^{jon}Z^2e^2}{M},$$
där $M$ är jonernas massa. Det är uppenbart att $\Omega_p<<\omega$ då
jonmassan är mycket större än elektronmassan.\\

Den dielektriska permittiviteten $\epsilon^{el}$ är i Thomas-Fermi
approximationen

$$\epsilon=1+\frac{k_0^2}{q^2},$$
där $\vec q$ är vågvektorförändringen vid en elektronkollision.\\

Den totala dielektriska konstanten blir då

$$\epsilon=1+\frac{k_0^2}{q^2} -\frac{\Omega_p^2}{\omega^2}.$$
Detta kan omskrivas i formen

$$\epsilon=(1+\frac{k_0^2}{q^2})(1-\frac{\omega(\vec
q)^2}{\omega^2}),$$
om $\omega(\vec q)$ definieras som

$$\omega^2(\vec q)=\frac{\Omega_p^2}{1+{k_0^2\over q^2}}.$$
Med 
$$\epsilon =\epsilon^{el}\epsilon_{*}^{jon},$$
blir då den dielektriska permittiviteten för systemet av "klädda"
joner

$$\epsilon_{*}^{jon}=1-\frac{\omega^2(q)}{\omega^2}.$$
Detta innebär att $\omega(\vec q)$ representerar plasmafrekvensen för
klädda joner. Med den dielektriska permittiviteten 

$$\epsilon=(1+{k_0^2\over q^2})(1-\frac{\omega^2(\vec q)}{\omega^2})$$
blir den effektiva avskärmade Coulomb-potentialen mellan elektronerna
i en kristall

$$v(\vec q)=\frac{4\pi
e^2}{q^2+k_0^2}\frac{\omega^2}{\omega^2-\omega^2(\vec q)}$$
Denna potential är attraktiv för spridning av elektroner med litet
utbyte av energi:

$$\omega<\omega(\vec q).$$
Då $\omega(\vec q)$ representerar en fonon-energi gäller att växelverkan
mellan elektronerna kan vara attraktiv då

$$\hbar\omega<\hbar \omega_D,$$
där $\omega_D$ är Debye-frekvensen för jonerna. Attraktionen blir
tillräckligt stark för att leda till bundna elektronpar p.g.a.
effekten av Pauli-principen för mångelektronsystemet. \\

Detta är utgångspunkten för $BCS$ (Bardeen-Cooper-Schrieffer) teorin för
supraledningsförmåga.\\

I $BCS$ teorin beskrivs grundtillståndet som en antisymmetriderad
produkt av par-vågfunktioner för $N/2$ elektronpar:

$$\psi_{BCS}={\cal A}\{\phi(\vec r_1s_1,\vec r_2,\vec s_2)...\quad
\phi(\vec r_{N-1}s_{N-1},\vec r_N s_N)\}.$$
Parvågfunktionen $\phi$ antas vara ett singlett-tillstånd. Detta
innebär att den orbitala delen av vågfunktionen är symmetrisk:

$$\chi(\vec r-\vec r')={1\over V}\sum_{\vec k}\chi_{\vec k}e^{i\vec
k\cdot (\vec r-\vec r')}.$$
Partillståndet är då en superposition av en-elektrontillstånd med
motsatt riktade lika stora vågvektorer.\\

Parvågfunktionen är en kombination av elektronvågfunktioner vars
energier faller inom energigapet $\Delta$ ovanför Fermi-energin.
Motsvarande rörelsemängdsintervall fås som 

$$\Delta\sim \delta
\varepsilon=\delta(\frac{p^2}{2m})=\frac{p_F}{m}\delta p$$
Enligt obestämdhetsrelationen motsvarar detta en räckvidd 

$$\xi_0={\hbar \over \delta p}\sim \frac{\hbar p_F}{m\Delta}\sim
{\varepsilon_F \over k_F\Delta}\sim 10^3 Å.$$
Detta innebär att de bundna elektronerna i ett par rör sig på långt
avstånd från varandra i kristallen, vilket utvisar att deras
uppträdande är ett fullständigt kollektivt fenomen.\\

\vspace{1cm}

{\bf 18.3. $BCS$ teorins empiriska implikationer}
\vspace{0.5cm}

För praktiska beräkningar med $BCS$-teorin för supraledare antages att
den effektiva potentialen som leder till parbildning i
elektronsystemet kan beskrivas med den schematiska potentialen

$$<\vec k_1,\vec k_2|V|\vec k_3,\vec k_4>=-{V\over \Omega}\Theta(
|\varepsilon(\vec k_1)-\varepsilon_F|-\hbar \omega),$$
där $V_0$ är en konstant och $\Omega$ är systemets volym. Denna
potential är $0$ bortsett från elektronpar vars energier faller inom
ett beränsat område ovanför Ferminivån. Energin $\hbar \omega$ väljes
t.ex. som Debyeenergin $\hbar \omega_D$.\\

Med denna potentialmodel blir den kritiska temperaturen

$$k_BT_c=1.13\hbar \omega e^{-1/N_0V_0},$$
där $N_0$ är energinivåtätheten för elektroner med en spinnriktning i
den normala metallen. Detta resultat visar att en supraledande fas
uppträder för godtyckligt små värden på potentialparametern $V_0$.\\

Energigapet vid fermiytan blir

$$\Delta(0)=2\hbar \omega e^{-1/N_0 V_0}.$$

\noindent
Förhållandet $\Delta(0)/k_BT_c$ blir oberoende av $N_0$ och $V_0$:

$$\frac{\Delta(0)}{k_BT_c}=1.76.$$
Detta värde är i god överensstämmelse med empiriska resultat.\\

Energigapets temperaturberoende nära $T=T_c$ är

$$\frac{\Delta(T)}{\Delta (0)}=1.74 (1-{T\over T_c})^{1/2},\quad
T\approx T_c.$$

För de flesta ämnen gäller att $BCS$ teorin ger ett temperaturberoende
för det kritiska fältet som approximativt är i överensstämmelse med
den empiriska "lagen"

$$\frac{H_c(T)}{H_c(0)}\tilde{=}1-({T\over T_c})^2.$$


\end{document}
