\documentstyle[12pt]{article}
\begin{document}

{\bf 17. Magnetisk struktur i kristaller}
\vspace{0.5cm}

Fasta ämnen vars joner inte har spinnberoende växelverkningar har
ingen magnetisering i frånvaron av ett yttre magnetiskt fält. Ifall
jonernas magnetiska moment växelverkar med varandra kan
nettomagnetiseringen avvika från $0$ också i frånvaron av ett yttre
fält. Nettomagnetiseringen försvinner vid en kritisk temperatur
$T_c$.\\

Den magnetiska strukturen kallas ferromagnetisk ifall jonerna i en
enhetscell har lika stora och lika riktade magnetiska moment. I sådana
system kallas den kritiska temperaturen Curie-temperaturen.\\

En vanligare form av magnetisk struktur är antiferromagnetism.
Antiferromagnetiska kristaller kan betraktas som superponerade från
varandra förskjutna ekvivalenta
gitter vari de magnetiska momenten är motsatt riktade så att
systemets nettomagnetisering är $0$ också under
transitionstemperaturen so i detta fall kallas Néel-temperaturen.\\

En mellanform av magnetisk struktur är den s.k. ferrimagnetiska
strukturen vilken är lik den antiferromagnetiska, men i vilken de
motsatt riktade magnetiska momenten i de två superponerade gittren har
olika storlek så att nettomagnetiseringen avviker från $0$.\\

En mer komplicerad form av magnetisk struktur är en sådan där
spinnriktningarna bildar ett periodiskt mönster. För sådana kan man
definiera en spinn-densitet

$$S_z(\vec r)={1\over 2} [n_\uparrow(\vec r)-n_\downarrow (\vec r)],$$
där $n_\uparrow(\vec r)$ och $n_\downarrow (\vec r)$ är de lokala
densiteterna av magnetiska moment med riktningar. Nettomagnetisering
uppträder ifall integralen av $S_z(\vec r)$ över gittret är olika
$0$.\\

I närheten av transitionstemperaturen $T_c$ gäller för ferro- och
antiferromagneter att magnetiseringens temperaturberoende är

$$M(T)=\left\{ \begin{array}{ll}
0 & T>T_c, \\ c(T_c-T)^{\beta}, & T<T_c,
\end{array} \right.$$
där $c$ är en konstant, och exponenten $\beta$ har värden i området
$0.33\,...\,0.37$. \\

I ferromagneter har suskeptibiliteten $\chi$ en singularitet vid $T_c$:

$$\chi \sim (T-T_c)^{-\gamma},\quad T>T_c.$$
Exponenten $\gamma$ är av storleksordningen $1.3\, ...\, 1.4$. I
antiferromagneter har $\chi$ ett maximum något ovanför $T_c$.\\

Det specifika värmet har en svag singularitet vid $T_c$ i
ferromagneter:

$$c(T) \sim (T-T_c)^{-\gamma}.$$
Exponenten är liten $(\leq 0.1)$.

\vspace{1cm}

{\bf 17.2. Grundtillståndet för en Heisenberg ferromagnet}
\vspace{0.5cm}

Betrakta ett system av joner med spinn $\vec s$ som bildar ett
Bravaisgitter och vars Hamiltonoperator kan beskrivas med
Heisenbergmodellen

$${\cal H}=-{1\over 2} \sum_{\vec R\vec R'}\vec S(\vec R)\cdot \vec S(\vec
R')J(\vec R-\vec R')-g\mu_BH\sum_{\vec R}S_z(\vec R).$$
Utbytesintegralerna $J$ antas vara onegativa:

$$J(\vec R-\vec R')=\vec J(\vec R'-\vec R)\geq 0.$$
I detta fall blir energin lägst för parallella spinn och systemet bör
vara ferromagnetiskt vid låga temperaturer.\\

Det är naturligt att antaga att grundtillståndet är det i vilket alla
jonspinn har maximal projektion på en given riktning:

$$|0>=\Pi_{\vec R}|S>_{\vec R}.$$
Det maximala $S_z$-värdet innebär

$$S_z(\vec R)|S>_{\vec R}=S|S>_{\vec R}.$$

Hamiltonoperatorn kan uttryckas med hjälp av stegoperatorerna
$S_{\pm}$, som definieras som 

$$S_{\pm}(\vec R)=S_x(\vec R)\pm i S_y(\vec R).$$
För dessa gäller att

$$s_\pm(\vec R)|S_z>_{\vec R}=\sqrt{(S\mp S_z)(S+1\pm S_z)}|S_z\pm
1>_{\vec R}.$$
Hamiltonoperatorn blir då

$${\cal H}=-{1\over 2}\sum_{\vec R,\vec R'}J(\vec R-\vec R')S_z(\vec
R)S_z(\vec R')-g\mu_B H\sum_{\vec R}S_z(\vec R)$$
$$-{1\over 2}\sum_{\vec R,\vec R'}J(\vec R-\vec R')S_{-}(\vec
R')S_{+}(\vec R)$$
Då $S_{+}(\vec R)|S>_{\vec R}=0$ blir

$${\cal H}|0>=E_0|0>,$$
med energiegenvärdet

$$E_0=-{1\over 2}S^2\sum_{\vec R,\vec R'}J(\vec R-\vec R')-Ng\mu_B
HS$$

Det lägsta möjliga värdet för matriselementet $<0|{\cal H}|0>$ är

$$E'_0=-{1\over 2}\sum_{\vec R\vec R'}J(\vec R-\vec R')max <\vec
S(\vec R)\cdot \vec S(\vec R')>$$
$$-g\mu_BH\sum_{\vec R}max <S_z(\vec R)>.$$
Det är uppenbart att

$$max <S_z(\vec R)>=S$$
Vidare gäller att

$$<\vec S(\vec R)\cdot \vec S(\vec R')>={1\over 2}<[(\vec S(\vec
R)+\vec S(\vec R'))^2-\vec S^2(\vec R)-\vec S^2(\vec R')]$$
$$\hspace{2cm}\leq {1\over 2}[(2s)^2-s(s+1)-s(s+1)]$$
$$\leq {1\over 2}[4S^2-S^2-S^2]$$
$$\hspace{-2cm}\leq S^2.$$
Detta leder till att $E'_0 \geq E_0$ varav följer att $E_0$är energin
för grundtillståndet och att

$$|0>=\Pi_{\vec R}|S>_{\vec R}$$
är grundtillståndet.\\

För en ferromagnet i grundtillståndet som beskrivs i
Heisenbergmodellen som 

$$|0>=\Pi_{\vec R}|S>_{\vec R}$$
blir magnetiseringen 

$$M=g\mu_B nS,$$
då alla joner bidrar ett genomsnittligt spinnvärde $S$.\\

Exciterade tillstånd kan konstrueras genom att sänka ett jonspinns
$z$-projektion från $S$ till $S-1$:

$$|\vec R>=\frac{1}{\sqrt{2S}}S_{-}(\vec R)|0>$$
Detta tillstånd är inte ett egentillstånd till Hamiltonoperatorn i
Heisenbergmodellen ty 

$$S_{-}(\vec R')S_{+}(\vec R)|\vec R>=2S|\vec R>$$
Vidare är

$$S_z(\vec R')|\vec R>=S|\vec R>,\quad \vec R'\neq \vec R,$$
$$=(S-1)|\vec R>,\quad \vec R'=\vec R.$$
Detta leder till

$${\cal H}|\vec R>=E_0|\vec R>+g\mu_BH|\vec R>$$
$$+S\sum_{\vec R'}J(\vec R-\vec R')[|\vec R>-|\vec R'>],$$
Här är $E_0$ grundtillstånd energi

$$E_0=-{1\over 2}S^2\sum_{\vec R,\vec R'}J(\vec R-\vec R')-Ng\mu_BHS$$
Eftersom ${\cal H}|\vec R>$ är en lineär kombination av tillståndena
$\{|\vec R>\}$ kan man konstruera egenstillstånd med hjälp av lämpliga
lineära kombinationer av sådana tillstånd.\\

Definiera 

$$|\vec k>=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\vec R}e^{i\vec k \cdot \vec
R}|\vec R>.$$
Detta leder till

$${\cal H}|\vec k>=\frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{\vec R}e^{i\vec k \cdot
\vec R}{\cal H}|\vec R>$$
$$=(E_0+g\mu_BH)|\vec k>+ {S\over \sqrt{N}} \sum_{\vec R}e^{i\vec k
\cdot \vec R}\sum_{\vec R'} J(\vec R-\vec R')[|\vec R>-|\vec R'>]$$
$$=E_{\vec k}|\vec k>,$$
med
$$E_{\vec k}=E_0+g \mu_BH+S\sum_{\vec R}J(\vec R)(1-e^{i\vec k \cdot
\vec R}).$$
Med
$$J(\vec R)=J(-\vec R)$$
blir
$$E_{\vec k}=E_0+g\mu_BH+2S\sum_{\vec R}J(\vec R)sin^2(\frac{\vec
k\cdot \vec R}{2}).$$
I tillståndet $|\vec k>$ är den totala $z$-projektionen av
kristallspinnens summa $NS-1$.\\

Då

$$|<\vec k|\vec R>|^2={1\over N}={konstant}$$
är sannolikheten lika för alla joner att deras spinn $-z$ projektion
har minskats med $1$.\\

Korrelationsfunktionen för transversa spinn definieras som väntevärdet av

$$\vec S_\bot(\vec R)\cdot \vec S_\bot(\vec R')=S_x(\vec r)S_x(\vec
R')+S_y(\vec R)S_y(\vec R)$$
I grundtillståndet är dennas väntevärde $0$.\\

I det exciterade tillståndet $|\vec k>$ är väntevärdet

$$<\vec k|\vec S_\bot (\vec R)\cdot \vec S_\bot (\vec R')|\vec
k>={2N\over N}cos[\vec k \cdot (\vec R-\vec R')]$$

Detta innebär att jonerna har en genomsnittlig transvers
spinnkomponent vars storlek är $\sqrt{2S/N}$, och vars riktning
beskrivs av vinkeln $\vec k \cdot (\vec R-\vec R')$. Tillståndet
$|\vec k>$ kallas en spinnvåg med vågvektorn $\vec k$ och energin
$E_{\vec k}$ eller en magnon. \\

Det är naturligt att antaga att superpositioner av magnoner med
vågvektorer $\vec k_1,...\vec k_{N_0}$ leder till energitillstånd med
energierna $\varepsilon(\vec k_1)+...+\varepsilon(\vec k_{N_0})$. I
detta fall kan magnonerna behandlas på ett sätt som är analogt till
behandlingen av fononerna. Låt $n_{\vec k}$ vara antalet magnoner med
$\varepsilon(\vec k)$ och $\vec k$. Då är energin för motsvarande
exciterat tillstånd

$$E=\sum\varepsilon(\vec k)n_{\vec k}.$$
Det genomsnittliga antalet magnoner med vågvektorn $\vec k$ är

$$n(\vec k)=<n_{\vec k}>=\frac{1}{e^{\beta \varepsilon (\vec k)}-1}.$$
Då varje magnon eller spinn-våg minskar det totala spinnet med 1 blir

$$M(T)=M(0)[1-{1\over NS}\sum_{\vec k}n(\vec k)]$$
$$\simeq M(0)\{1-{V\over NS}\int \frac{d^3\vec
k}{(2\pi)^3}\frac{1}{e^{\beta \varepsilon (\vec k)}-1}\}.$$
I frånvaro av ett yttre magnetiskt fält $H$ är

$$\varepsilon(\vec k)=2S\sum_{\vec R}J(\vec R)sin^2(\frac{\vec k\cdot
\vec R}{2})$$
$$\simeq S\sum_{\vec R}J(\vec R)(\vec k \cdot \vec R)^2$$
Med $\vec k=\vec q/\sqrt{\beta}$ blir magnetiseringen

$$M(T)=M(0)\{1-{V\over NS}(k_BT)^{3/2}\int \frac{d^3
q}{(2\pi)^3}\frac{1}{e^{S\sum_{\vec R}J(\vec R){(\vec q \cdot \vec
R)^2 \over 2}}-1}$$
Detta innebär att

$$M(0)=M(0)\{1-CT^{3/2}\}$$
nära $T=0$. Detta beteende hos magnetiseringen kallas Bloch's
$T^{3/2}-$ lag, och är i god överensstämmelse med data.\\

För små $\vec q$-värden är integralen i $T^{3/2}$ termen i uttrycket
för magnetiseringen proportionell mot $1/q^2$. I $1-$ och $2-$
dimensionella system innebär detta att integralen divergerar.
Fysikaliskt betyder detta att antalet exciterade magnoner är så stort
att ingen spontan magnetisering uppträder i sådana system. \\

\newpage 

{\bf 17.3 Suskeptibiliteten vid höga temperaturer}
\vspace{0.5cm}

Vid höga temperaturer försvinner den spontana magnetiseringen:

$$<\sum_{\vec R}S_z(\vec R)>_{H=0}=0.$$
Här är det statistiska medelvärdet för en operator $X$ definierat som

$$<X>=\frac{\sum_{\alpha}<\alpha|X\alpha>e^{-\beta
E\alpha}}{\sum_{\alpha}e^{-\beta E\alpha}}$$
Då Hamiltonoperatorn ${\cal H}$ är diagonal i representationen
$\{|\alpha>\}$ kan medelvärdet skrivas i formen

$$<X>=\frac{Tr\{Xe^{-\beta {\cal H}}\}}{Tr\{e^{-\beta{\cal H}}\}}$$
Suskeptibiliteten definieras som 

$$\chi(T)=\frac{g\mu_B}{V}({\partial \over \partial H}<\sum_{\vec
R}S_z(\vec R)>)_{H=0}.$$
I denna form sätts det yttre fältet till $0$ först efter att
väntevärdet har beräknats.\\

\noindent
Notera att

$$\frac{\partial <X>}{\partial H})_{H=0}=<X(-\beta\frac{\partial
{\cal H}}{\partial H})>_{H=0}-<X>_{H=0} <-\beta\frac{\partial {\cal
H}}{\partial H}>_{H=0}.$$
Ifall $X=\sum_{\vec R}S_z(\vec R)$ bortfaller den andra termen i detta
uttryck vid höga temperaturer.\\

För Heisenbergmodellen är

$${\cal H}=-{1\over 2}\sum_{\vec R\vec R'}\vec S(\vec R)\cdot \vec
S(\vec R')J(\vec R-\vec R')-g\mu_BH\sum_{R}S_z(\vec R)$$
så att

$$\frac{\partial{\cal H}}{\partial H}=-g\mu_B\sum_{R} S_z(\vec R).$$
Detta innebär då att suskeptibiliteten blir

$$\chi(T)={1\over V}{1\over k_BT}(g\mu_B)^2 <[\sum_{\vec R}S_z(\vec
R)]^2>_{H=0},$$
där ${\cal H}$ i det statistiska medelvärdet är

$${\cal H} \Rightarrow {\cal H}_0=-{1\over 2}\sum_{\vec R\vec R'}\vec
S (\vec R)\cdot \vec S(\vec R')J(\vec R-\vec R').$$
Medelvärdet av $(\sum_{\vec R}S_z(\vec R))^2$ är

$$<[\sum_{\vec R}S_z(\vec R)]^2>_{H=0}=<\sum_{\vec R\vec R'}S_z(\vec
R)\cdot S_z(\vec R')>_{H=0}$$
$$\equiv \sum_{\vec R\vec R'}\Gamma(\vec R,\vec R').$$
Här representerar $\Gamma$ korrelationsfunktionen för spinnvektorer
vid $\vec R$ och $\vec R'$:

$$\Gamma (\vec R,\vec R')=<S_z(\vec R)S_z (\vec R')>_{H=0}$$
Vid höga temperaturer är $J<<k_BT$ så att

$$e^{-{\cal H}_0/k_BT}\rightarrow 1.$$

Detta innebär att växelverkningarna mellan spinnen är utan betydelse
och att spinnen vid olika punkter är okorrelerade:

$$<S_z(\vec R)S_z(\vec R)>_0=<S_z(\vec R)>_0<S_z(\vec R')>_0=0,\quad
\vec R\neq \vec R'$$
och

$$<S_z(\vec R)S_z(\vec R)>_0={1\over 3}<\vec S^2(\vec R)>_0$$
$$={1\over 3}S(S+1).$$
Mao är

$$<S_z(\vec R)S_z(\vec R')>={1\over 3}S(S+1)\delta_{\vec R\vec R'}$$

Suskeptibiliteten vid höga temperatur blir därigenom

$$\chi(T)=n{1\over k_BT}(g\mu_B)^2S(S+1){1\over k_BT}.$$
Detta är Curie's lag.\\

Korrektionerna till Curie's lag kan härledas genom serieutveckling av
operatorn $e^{-\beta {\cal H}_0}$:

$$e^{-\beta{\cal H}_0}=1-\beta{\cal H}_0+...$$
Om den lineära termen i $\beta$ medtas blir
spinn-korrelationsfunktionen

$$\Gamma(\vec R,\vec R')\simeq \frac{{1\over 3} S(S+1)\delta_{\vec
R\vec R'}-\beta<S_z(\vec R)S_z(\vec R'){\cal H}_0>_0}{1-\beta<{\cal
H}_0>_0}$$
Vid höga temperaturer är

$$<\vec S(\vec R)\cdot \vec S(\vec R')>_0=0$$
så att

$$<{\cal H}_0>_0=0.$$
Då blir

$$\Gamma(\vec R,\vec R')\stackrel{\sim}{=} {1\over
3}S(S'+1)\delta_{R\vec R'}+{\beta \over 2}\sum_{R_1,R_2}J(\vec
R_1-R_2)<S_z(\vec R)S_z(\vec R')\vec S(\vec R_1)\cdot \vec S(\vec
R_2)>_0$$
$$\stackrel{\sim}{=}{1\over 3}S(S+1)\delta_{\vec R\vec R'}+\beta J(\vec
R-\vec R')\sum_{m}<S_z(\vec R)S_m(\vec R)>_0<S_z(\vec R')S_m(\vec
R')>_0$$
$$\stackrel{\sim}{=}{1\over 3}S(S+1)\delta_{\vec R\vec R'}+\beta
J(\vec R-\vec R')<S_z^2(\vec R)>_0<S_z^2(\vec R')>_0$$
$$=\frac{S(S+1)}{3}[\delta_{\vec R\vec R'}+\frac{S(S+1)}{3}\beta
J(\vec R-\vec R')+...]$$
Med $J>0$ är korrelationen mellan spinnen i växelverkningstermen
positiv, vilket antyder ferromagnetism, medan med $J<0$ korrelationen
är negativ, vilket antyder antiferromagnetism.\\

Suskeptibiliteten blir

$$\chi(T)=n\frac{(g\mu_B)^2}{3k_BT}S(S+1)\{1+{\theta\over
T}+\theta({1\over T^2})\},$$
med

$$\theta\equiv \frac{S(S+1)}{3}{J_0 \over k_B},\quad J_0=\sum_{\vec
R}J(\vec R)$$

\vspace{1cm}

{\bf 17.4 Kritiskt beteende}
\vspace{0.5cm}

Serieutvecklingen efter $1/T$ för suskeptibiliteten vid höga
temperaturer kan extrapoleras till närheten av den kritiska punkten
för att ge information om beteendet vid den kritiska punkten. Denna
metod kan inte användas för analys av den kritiska punkten för spontan
magnetisering. I detta fall måste man uttnyttja förenklande
approximationer för Hamiltonoperatorn i Heisenbergmodellen.\\

En sådan förenklaring är att lämna bort stegoperatorerna $S_{\pm}$ i
Hamiltonoperatorn. Detta leder till den s.k. Ising-modellen:

$${\cal H}^{Ising}=-{1\over 2}\sum_{\vec R,\vec R'}J(\vec R-\vec
R')S_z(\vec R)S_z(\vec R)-g\mu_BH\sum_{\vec R} S_z(\vec R)$$
Energiegenvärdena för Ising-modellen är lätta att bestämma då alla
operatorerna $S_z$ är diagonala. En ytterligare förenkling är att
enbart taga i beaktande växelverkningarna mellan närmaste grannar i
Ising-modellen. Partitionsfunktionen för denna är lätt att beräkna för
ett endimensionellt spinnsystem. Sådana har inga fastransitioner vid
ändlig temperatur till en fas med spontan magnetisering.
Partitionsfunktionen för den två-dimensionella Ising-modellen med
växelverkningar mellan närmaste grannar har beräknats exakt av
Onsager. I denna är den spontana magnetiseringens temperaturberoende i
närheten av den kritiska temperaturen

$$M(T)\sim (T_c-T)^{1/8},$$
medan suskeptibiliteten har en singularitet:

$$\chi(T)\sim (T-T_c)^{-7/4}.$$
Approximativa beräkningar for en tredimensionella Ising-modellen leder
till "kritiska exponenter" vars storlek i god överensstämmelse med
iakttagna värden för tredimensionella system.\\

\vspace{1cm}

{\bf 17.5 Medelfältteorin för ferromagneter}
\vspace{0.5cm}

Den s.k. Weiss-teorin för ferromagneter är baserad på antagandet att
man kan beskriva spinnväxelverkingarna för ett enskilt spinn genom att
utnyttja att statistiskt medelvärde för de övriga spinnen.\\

Hamiltonoperatorn i Heisenberg-modellen kan skrivas i formen

$${\cal H}=\sum_{\vec R}{\cal H}_{\vec R},$$
$${\cal H}_{\vec R}=-S(\vec R)\cdot \{\sum_{\vec R' \neq \vec R}J(\vec
R-\vec R')\vec S(\vec R')+g\mu_B\vec H\}$$
$$=-\vec S(\vec R)\cdot \vec H_{eff}.$$
Här har det "effektiva" fältet $\vec H_{eff}$ som spinnet $\vec S(\vec
R)$ växelverkar med definierats som 

$$\vec H_{eff}=\vec H+{1\over g\mu_b}\sum_{\vec R'}J(\vec R-\vec
R')\vec S(\vec R').$$

Det statistiska medelvärdet av $\vec H_{eff}$ är

$$<\vec H_{eff}>=\vec H+{1\over g\mu_B}\sum_{\vec R'} J(\vec R-\vec
R')<\vec S(\vec R')>$$

I en ferromagnet är

$$<\vec S(\vec R')>={V\over N}{\vec M \over g\mu_B},$$
där $\vec M$ är magnetiseringen. För en sådan blir

$$\vec H_{eff}=\vec H+\lambda \vec M,$$
med

$$\lambda={V\over N}{J_0 \over (g\mu_B)^2},\quad J_0=\sum_{\vec
R}J(\vec R).$$

I denna modell ges magnetiseringen som lösningen till ekvationen

$$M=M_0(\frac{H_{eff}(M)}{T}),$$
där $M_0$ är den magnetisering som uppträder i frånvaron av magnetiska
växelverkningar. Denna beror i allmänhet bara av förhållandet $H/T$.\\

Ifall $H=0$ blir

$$M(T)=M_0(\frac{\lambda M}{T}).$$
Lösningen till denna ekvation ger magnetiseringen.\\

\noindent
Ekvationen kan skrivas i formen

$$\left\{ \begin{array}{l} M(T)={T\over \lambda}x \\
M(T)=M_0(x)\end{array}\right.$$

\vspace{4cm}

Den kritiska temperaturen är lösningen till ekvationen 

$$M'_0(x)={T\over \lambda}.$$
$$\chi_0=(\frac{\partial M_0}{\partial H})=\frac{M'_0(0)}{T}$$
Enligt Curie's lag är

$$\chi=n\frac{(g\mu_B)^2}{3}\frac{S(S+1)}{k_BT}.$$
Härav fås

$$T_c=n\frac{(g\mu_B)^2}{3k_B}S(S+1)\lambda=\frac{S(S+1)}{3k_B}J_o.$$

För $T<T_c$ leder medelfältteorin till en magnetisering vars
temperaturberoende är 

$$M\sim (T_c-T)^{1/2},$$
oberoende av gittrets demension. För de flesta 3-dimensionella system
är den kritiska exponenten närmare $1/3$ än $1/2$. För den
2-dimensionella Ising-modellen är den kritiska exponenten $1/8$.
Medelfältteorins kvalitet ökar med systemets dimensionstal.\\

Enligt medelfältteorin blir suskeptibiliteten 

$$\chi=\frac{\partial M}{\partial H}=\frac{\partial M_0}{\partial
H_{eff}}\frac{\partial H_{eff}}{\partial H}$$
$$=\chi_0(1+\lambda \chi).$$
Denna ekvation ger

$$\chi=\frac{\chi_0}{1-\lambda \chi_0}.$$
Då för $T>T_c$ 

$$\chi_0={c\over T},$$
blir

$$\chi={c\over T-\lambda c}={c\over T-T_c}.$$
Denna form för $\chi$ kallas Curie-Weiss-lagen, men är inte i
speciellt bra överensstämmelse med data, som anger att

$$\chi\sim \frac{1}{(T-T_c)^\gamma},\quad \gamma=1,3\, ...\, 1.4,$$  

\vspace{1cm}

{\bf 17.6 Magnetiska domäner}
\vspace{0.5cm}

Den spinnberoende växelverkan mellan jonerna i en metall härrör sig
dels från utbytesväxelverkan mellan spinnen och dels från den direkta
magnetiska växelverkan mellan de magnetiska moment som spinnen
representerar. Utbytesväxelverkan har mycket kort räckvidd då den
involverar ett matriselement mellan vågfunktioner som faller
exponentiellt med avståndet. Dipolfältet som omger ett
spinndipolmoment avtar däremot som $1/r^3$, så att den direkta magnetiska
kopplingen mellan spinndipolmomenten har lång räckvidd i jämförelse
med utbyteväxelverkan.\\

Medan utbytesväxelverkan leder till parallella spinn leder
dipolväxelverkan mellan två spinn till att de är motsatt riktade sedda
i ett plan som är ortogonalt mot spinnen. Denna balans mellan en stark
korträckviddsväxelverkan, som leder till ferromagnetism, och en svag
långräckviddsväxelverkan, som leder till antiferromagnetism ger upphov till
en komplicerade blockstruktur i ferromagneter.\\

Det blir energetisk fördelaktigt för "block" av närbelägna
spinnvektorer att vara parallellt riktade, medan spinnen i
grannblocken alla blir motsatt riktade. Dessa block kallas magnetiska
domäner. De åtskiljs av väldefinierade gränser som kallas domängränser
eller Bloch-gränsen.

\end{document}
