\documentstyle[12pt]{article}
\begin{document}

{\bf 16. Elektronernas magnetiska växelverkan}\\
\vspace{0.5cm}

Paulipricipen, enligt vilken vågfunktionen för fermionsystem bör vara
antisymmetrisk vid utbyte av partikelkoordinater, implicerar att den
effektiva växelverkan mellan två elektroner är beroende av deras
spinn.\\

Betrakta ett tvåelektronsystem bundet till joner vid $\vec R_1$ och
$\vec R_2$. Om växelverkan mellan elektronerna lämnas obeaktad blir
Schrödingerekvationen

$$(h_1+h_2)\psi(\vec r_1,\vec r_2)=E\psi(\vec r_1,\vec r_2),$$
med

$$h_i=-{\hbar^2 \over 2m}\nabla_i^2-\frac{e^2}{|r_i-\vec
R_1|}-\frac{e^2}{|\vec r_i-\vec R_2|}, i=1,2.$$

Beteckna 1-elektronvågfunktionerna $\psi_n(\vec r)$ så att

$$h_i\psi_m(\vec r_i)=\varepsilon_m\psi_m(\vec r_i).$$
Antag att de lägsta radiella energierna är $\varepsilon_0$ och
$\varepsilon_1$ och motsvarande egenfunktioner är $\psi_0(\vec r)$ och
$\psi_1(\vec r)$.\\

Tvåpartikelsystemets lägsta energitillstånd beskrivs då av
kombinationerna 

$$\psi_s(\vec r_1,\vec r_2)=\psi_0(\vec r_1)\psi_0(\vec
r_2)\chi_{1m}.$$
Här är $\chi_{00}$ spinn singlett-tillståndet

$$\chi_{00}={1\over \sqrt{2}} [|+->- |-+>]$$
och $\chi_{1m}$ ett av de 3 spinn triplett-tillståndena

$$\chi_{11}=|++>,$$
$$\chi_{10}={1\over \sqrt{2}}[|+->+|-+>],$$
$$\chi_{1-1}=|-->.$$
Energin för $\psi_s$-tillståndet är $2\varepsilon_0$ och den för
$\psi_t$-tillståndet $\varepsilon_0+\varepsilon_1$. Enligt ett allmänt
teorem är singlett-tillståndets energi alltid lägre än
triplett-tillståndets energi. I detta fall är

$$E_s=E_t=\varepsilon_0-\varepsilon_1<0.$$

Den repulsiva växelverkan mellan elektronerna leder till en ökning av
värdena $2\varepsilon_0$ och $\varepsilon_0+\varepsilon_1$ för $E_s$
och $E_t$. I lägsta ordningens störningsteori fås

$$\Delta E_s=e^2\int d^3r_1d^3r_2|\psi_0(\vec r_1)|^2|\psi_0(\vec
r_2)|^2 \frac{1}{|\vec r_1 -\vec r_2|}$$
och

$$\Delta E_t=e^2\int d^3 r_1 d^3 r_2 \frac{1}{|\vec r_1-\vec r_2|}$$
$$\{|\psi_0(\vec r_1)|^2|\psi_1(\vec r_2)|^2-\psi_0^{*}(r_1)\psi(\vec
r_1)\psi^{*}_1(\vec r_2)\psi_0(\vec r_1)\}.$$

De olika energivärdena för spinn singlett- och triplett-tillståndena
kan sammanfattas med energioperatorn

$$H_{spin}={1\over 4}(E_s+3E_t)-(E_s-E_t)\vec S_1 \cdot \vec S_2,$$
där $\vec S_1$ och $\vec S_2$ är spinn-operatorerna för de två
elektronerna. Detta följer av att

$$\vec S_1 \cdot \vec S_2={1\over 2}[(\vec S_1 +\vec S_2)^2-\vec
S_1^2-\vec S_2^2]$$
$$={1\over 2}[S_{TOT}(S_{TOT}+1)-{3\over 2}],$$
så att $\vec s_1 \cdot \vec s_2$ blir $-3/4$ för $S_{TOT}=0$ och
$+1/4$ för $S_T=0$.\\

Den konstanta spinn-oberoende termen $(E_s+3E_t)/4$ kan elimineras
genom en förskjutning av energiskalan. Spinn-växelverkan kan då
sammanfattas som 

$$H_{spin}=-J\vec S_1\cdot \vec S_2$$
där $J=E_s-E_t$. $J$ kallas "utbytesintegralen" (exchange integral).\\

Där är naturligt att generalisera denna spinn operator till
mångelektronsystem som

$$H_{spin}=-\sum J_{ij}\vec S_i \cdot \vec S_j$$
Denna Hamiltonoperator kallas Heisenbergmodellen, och används som
utgångspunkt för beskrivningen av ferromagnetism.\\

\vspace{1cm}

{\bf Electrongasens ferromagnetism}
\vspace{0.5cm}

I Hartree-Fock-approximationen är energin i en elektrongas

$$E=N[{3\over 5}(k_F a_0)^2-\frac{3}{2\pi}(k_F a_0)]Ry,$$
med $1Ry\equiv e^2/2a_0=13.6 eV$. \\

Ifall elektronerna med motsatta spinnriktningar betraktas som skilda
system med partikeltalen $N_{\uparrow}$ och $N_{\downarrow}$ blir
energierna för dessa subsystem

$$E_{\uparrow}=N_{\uparrow}[{3\over 5} (k_{\uparrow}
a_0)^2-\frac{3}{2\pi}(k_{\uparrow} a_0)]Ry,$$
$$E_{\downarrow}=N_{\downarrow}[{3\over 5} (k_{\downarrow}
a_0)^2-{3\over 2\pi}(k_{\downarrow} a_0)]Ry.$$
Summan av dessa energier ger elektrongasens sammanlagda energi

$$E=E_{\uparrow}+E_{\downarrow}.$$
Elektrontätheten är

$${N\over V}={N_\uparrow \over V}+{N_\downarrow \over
V}=\frac{k_{\uparrow}^3}{6\pi^2} +
\frac{k_\downarrow^2}{6\pi^2}=\frac{k_F^2}{3\pi^2}.$$
I normal jämvikt gäller givetvis att $N_\uparrow=N_\downarrow$, så att
elektrongasen är inte ferromagnetisk. Systemet har olika antal
elektroner med spinn upp och spinn ned $(N_\uparrow \neq
N_\downarrow)$ ifall detta är energetiskt fördelaktigt. I en sådan
situation har systemet en magnetisering

$$M=-g\mu_B \frac{N_\uparrow-N_\downarrow}{V},$$
och systemet är ferromagnetiskt - dvs. $M\neq 0$ också i frånvaron av
ett yttre magnetiskt fält.\\

Ifall $N_\downarrow=N$ och $N_\uparrow=0$ blir $E=E_\downarrow$ och
$k_\downarrow=2^{ 1/3} \, k_F$. Systemets energi är då

$$E=N[{3\over 5}2^{2/3}(k_F a_0)^2-{3\over 2\pi}2^{1/3}(k_F a_0)]$$
I jämförelse med energin för det omagnetiserade tillståndet är den första termen
multiplerad med $2^{2/3}=1.59$ och den andra negativa termen
multiplierad med $2^{1/3}=1.26$. Detta betyder att för sådana små
tätheter där utbytestermen dominerar det ferromagnetiska tillståndet
har den lägsta energin. Transitionstätheten ges av
energivalensekvationen

$$E(N_\uparrow=N_\downarrow)=E(N_\uparrow=0, N_\downarrow=N),$$
som 

$$k_Fa_0={5\over 2\pi} \frac{1}{2^{1/3}+1},$$
eller

$${r_s\over a_0}={2\pi \over
5}(2^{1/3}+1)(\frac{9\pi}{4})^{1/3}=5.45.$$
Denna schematiska beräkning är trots allt orealistisk då den inte
beaktar avskärmningen i elektrongasen. Avskärmningen leder till den
motsatta situationen att elektrongasen är ferromagnetisk vid stora
tätheter och omagnetisk vid små tätheter vilket är mer realistiskt.

\end{document}
