\documentstyle[12pt]{article}
\begin{document}

{\bf 14. Medelfältapproximationen}\\
\vspace{0.5cm}

{\bf 14.1 Hartreeapproximationen}\\
\vspace{0.5cm}

Schrödingerekvationen för elektronvågfunktionerna i en kristall:

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi (\vec r)+U(\vec r)\psi(\vec
r)=\epsilon \psi(\vec r)$$
är en idealisering, som bortser från det faktum att
potentialfunktionen $U(\vec r)$ beror av de övriga elektronernas
tillstånd. Den egentliga utgångspunkten bör vara vågfunktionen
$\psi(\vec r_1, s_1,...\, \vec r_N, s_N)$ för $N$-elektronsystemet
i kristaller. Denna satisfierar Schrödinger ekvationen

$$\sum_{i=1}^{N}(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_i^2 \psi -Ze^2\sum_{\vec
R}\frac{1}{|r_i-\vec R|}\psi)$$
$$+{1\over 2}\sum_{i\neq j}\frac{e^2}{|\vec r_i-\vec r_j|}\psi =
E\psi,$$
där potentialen bildas av växelverkningarna mellan elektronerna och
jonerna och den ömsesidiga repulsiva växelverkan mellan
elektronerna.\\

För att åstadkomma en praktisk, om än approximativ, reduktion av
$N$-elektron-Schrödingerekvationen för enskilda elektroner, kan man
antaga att $N$-elektronvågfunktionen $\psi$ kan skrivas som en produkt
av en-elektronvågfunktioner:

$$\psi(\vec r_1, s_1,...\, \vec r_N, s_N)=\psi_1(\vec r_1,
s_1)...\psi(\vec r_N,s_N).$$
En-elektronvågfunktionerna antas vara ortonomerade på sedvanligt
sätt.\\

I denna approximation blir den elektroniska laddningsdensiteten 

$$\rho(\vec r)=-e\sum_{i}|\psi_i(\vec r)|^2.$$
Ett approximativt uttryck för den potentialfunktion som de övriga
elektronerna ger upphov till för en elektron i punkten $\vec r$ blir då

$$U^{el}(\vec r)=-e\int d^3 r'\frac{\rho (\vec r')}{|\vec r-\vec
r'|}.$$
Schrödingerekvationen för 1-elektrontillståndena blir då

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla\psi_i (\vec r)+U^{jon}(\vec r)\psi_i(\vec r)$$
$$+e^2\sum_{j}\int d^3r' \frac{|\psi_j(\vec r')|^2}{|\vec r-\vec
r'|}\psi_i(\vec r)$$
$$=\varepsilon_i \psi_i(\vec r).$$
Här är den joniska potentialen $U^{jon}(\vec r)$

$$U^{jon}(\vec r)=-Ze^2\sum_{\vec R}\frac{1}{|\vec r-\vec R|}.$$

Schrödingerekvationerna för 1-elektrontillståndena är kopplade
olineära differentialekvationer, som kallas Hartree-ekvationerna.
Hartree-approximationen representerar en medelfältapproximation i
vilken elektronerna antas röra sig i ett potentialfält som är ett
medelvärde av de potentialfält som de övriga elektronerna ger upphov
till.\\

Hartree-approximationen är "själv-konsistent" i den meningen att lösningen för
$\psi_i(\vec r)$ förutsätter att alla övriga vågfunktioner är kända.
Hartree-ekvationerna löses genom iteration så att ett begynnelsevärde
för elektron-elektronpotentialfunktionen väljs så att en
lösningsfamilj $\{\psi_i^0(\vec r)\}$ kan bestämmas genom numerisk
lösning av differentialekvationerna. Denna lösningsfamilj utnyttjas
till en ny uppskattning för elektron-elektron
växelverkningspotentialen så att en nästa (och bättre) lösningsfamilj
$\{\psi_i^1(\vec r)\}$ kan beräknas. Denna metod upprepas ända tills
att en stabil konvergerad lösningsfamilj $\{\psi_i(\vec r)\}$ uppnås.\\

\vspace{1cm}

{\bf 14.2 Hartree-Fock approximationen}\\
\vspace{0.5cm}

Hartree-approximationen är bättre lämpad för en självkonsistent
beskrivning av bosonsystem, vars vågfunktion bör vara symmetrisk vid
utbyte av koordinaterna för vilketsomhelst partikelpar. En sådan
vågfunktion kan åstadkommas med en produktvågfunktion genom att
symmetrisera den.\\

För ett tvåpartikelsystem är en symmetrisk kombination

$$\psi_S(\vec r_1 \vec r_2)={1\over \sqrt{2}} \{\psi_1(\vec
r_1)\psi_2(\vec r_2)+\psi_2(\vec r_1)\psi _1(\vec r_2)\}.$$
I grundtillståndet för ett bosonsystem beskrivs alla partiklar med samma
vågfunktion.\\

En enkel produktvågfunktion kan inte beskriva ett elektronsystem ens i
grundtillståndet, ty den uppfyller inte kravet att
elektronvågfunktionen bör vara antisymmetrisk maå utbyte av
partikelkoordinaterna. Den enklaste kombinationen av
produktvågfunktioner som satisfierar kravet på antisymmetri är den
s.k. Slaterdeterminanten

\begin{center}
\begin{tabular}{c|cc|c}
 & $\psi_1(\vec r_1, s_1)...$ & $\psi_1(\vec r_N, s_N)$ & \\
 & $\psi_2(\vec r_1, s_1)...$ & $\psi_2(\vec r_N, s_N)$ & \\
$\psi(\vec r_1, s_1)...\vec r_N, s_N)={1\over \sqrt{N!}}$ & $...$ & & \\
 & $\psi_N(\vec r_1, s_1)...$ & $\psi_N(\vec r_N, s_N)$& .\\
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{1cm}

\noindent
I mer kompakt form är denna

$$\psi(\vec r_1, s_1,...\vec r_N,s_N)={1\over \sqrt{N!}}
\epsilon_{i_1...i_N} \psi_{i_1}(\vec r_1, s_1)...\psi_{i_N}(\vec r_N,
s_N).$$
Här är $\epsilon_{i_1...i_N}$ en fullständigt antisymmetrisk
Levi-Civita tensor av rang $N$, vars värde är $0$ ifall två index är
lika, 1 om $(i_1...i_N)$ är en jämn permutation av $(123...N)$ och
$-1$ om $(i_1...i_N)$ är en udda permutation av $(123...N)$.\\

Hamiltonoperatorn är

$$H=\sum_{i=1}^{N}(-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla_i^2-Ze^2\sum_{\vec
R}\frac{1}{|\vec r_i-\vec R|})$$
$$+{1\over 2}\sum_{i\neq j}\frac{e^2}{|\vec r_i-\vec r_j|}.$$
Formellt kan denna uttryckas som en summa av en-elektron och
två-elektrontermer:

$$H=H_I+H_{II},$$
där
$$H_I=\sum_{i}H_I(\vec r_i),$$
$$H_{II}=\sum_{i<j} H_{II}(\vec r_i-\vec r_j).$$
Väntevärdet av en-elektronenergierna blir

$$<H_I>={1\over N!} \epsilon_{i_1...i_N}\, \epsilon_{j_1...j_N} \,
\int d^3 r_1...d^3 r_N \sum_{s_1...s_N}$$
$$\psi_{i_1}^\dagger (\vec r_1, s_1)\psi_{i_2}^\dagger (\vec r_2,
s_2)...\psi_{i_N}^\dagger (\vec r_N, s_N)\sum_{k} H_I(\vec r_k)$$
$$\psi_{j_i}(\vec r_1,s_1)...\, \psi_{j_N}(\vec r_N, s_N)$$
På grund av vågfunktionens antisymmetri är

$$<H_I>={1\over (N-1)!} \epsilon_{i_1...i_N}\, \epsilon_{j_1...j_N}
\int d^3r_1...d^3r_N \sum_{s_1...s_N}$$
$$\psi_{j_1}^\dagger (\vec r_1,s_1)...\psi_{i_N}^\dagger(\vec
r_N,s_N)H_I(\vec r_1)$$
$$\psi_{j_1}(\vec r_1, s_1)...\psi_{j_N}(\vec r_N,s_N)$$
$$=\frac{1}{(N-1)!}\epsilon_{i_1 i_2...i_N}\epsilon_{j_1i_2...i_N}\int
d^3r_1\sum_{s_1}$$
$$\psi_{i_1}^\dagger (\vec r_1,s_1)H_I(\vec r_1)\psi_{j_1}(\vec
r_1,s_1)$$
$$=\sum_{i}\int d^3 r_1\sum_{s_1}\psi_i^\dagger (\vec
r_1,s_1)H_I(\vec r_1)\psi_i(r_1,s_1).$$
För två-elektrontermen blir väntevärdet

$$<H_{II}>=\frac{N(N-1)}{2N!}\epsilon_{i_1..i_N}\epsilon_{j_1...j_N}\,
\int d^3r_1...d^3r_N\sum_{s_1...s_N}$$
$$\psi_{i_1}^\dagger (\vec r_1, s_1)\psi_{i_1}^\dagger (\vec r_2,
s_2)...\psi_{i_N}^\dagger (\vec r_N, s_N)$$
$$H_{II}(\vec r_1-\vec r_2) \psi_{j_1}(\vec r_1, s_1)...\psi_{j_N}(\vec
r_N,s_N)$$
$$=\frac{1}{(2N-3)!}\epsilon_{i_1 i_2 i_3...i_N}\epsilon_{j_1 j_2
i_3...i_N}\int d^3r_1d^3r_2\sum_{s_1, s_2}$$
$$\psi_{i_1}^\dagger(r_1, s_1)\psi_{j_1}^\dagger (\vec r_2, s_2)
H_{II}(\vec r_1-\vec r_2)\psi_{j_1}(\vec
r_1s_1)\psi_{j_2}(\vec r_2s_2)$$
$$=\sum_{i,j}\int d^3r_1d^3r_2 \sum_{s_1s_2}\psi_i^\dagger (\vec
r_1,s_1)\psi_j^\dagger (\vec r_2,s_2)H_{II}(\vec r_1-\vec r_2)$$
$$\{\psi_i(\vec r_1,s_1)\psi_j(\vec r_2, s_2)-\psi_j(\vec
r_1,s_1)\psi_i(\vec r_2, s_2)\}.$$
Den första termen i integralen kallas den direkta och den andra
utbytestermen.\\

Väntevärdet av Hamiltonoperatorn kan skrivas i formen

$$<H>=\sum_{i}\int d^3r_1\psi_i^\dagger (\vec r_1)H_I(\vec
r_1)\psi_i(\vec r_1)$$
$$+{1\over 2}\sum_{jk}\int d^3r_1d^3r_2 \psi_i^\dagger (\vec r_1)\psi_j(\vec
r_2)H_{II}(\vec r_1,\vec r_2)[\psi_i(\vec r_1)\psi_j(\vec
r_2)-\psi_j(\vec r_1)\psi_i(\vec r_2)].$$
Grundtillståndet bör vara stabilt så att $\delta <H>=0$ i detta.
Vidare gäller att alla en-elektronvågfunktioner bör vara nomerade så
att
$$\int d^3r \psi_j^\dagger(r)\psi_j(r)=1.$$
Minimering av $<H>$ med beaktande av detta villkor med hjälp av
Lagrangefaktorer $\varepsilon_j$ (en för varje tillstånd) leder till
de s.k. Hartree-Fock-ekvationerna:

$$\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi_i(\vec r)+U^{jon}(\vec r)\psi_i(\vec
r)$$
$$+e^2\sum_{j} \int d^3 r'\, \frac{|\psi_j(\vec r')|^2}{|\vec r-\vec
r'|}\psi_i (\vec r)$$
$$-e^2\sum_{j}\int d^3r' \frac{\psi_j^{*}(\vec r')\psi_i(\vec
r')}{|\vec r-\vec r'|}\psi_j(\vec r)$$
$$=\varepsilon_i\psi_i(\vec r).$$
Hartree-Fock approximationen är överlägsen över
Hartree-approximationen då den beaktar Paulipricipen, men den är mycket
mer krävande att använda i praktiken pga av den komplicerade
utbytestermen i vågekvationen.\\

\vspace{1cm}

{\bf Hartree-Fock approximationen för elektrongasen}\\
\vspace{0.5cm}

För en elektrongas vid $T=0$ bildas Slater-determinanten av
planvågfunktioner

$$\psi_i(\vec r)={1\over \sqrt{V}}e^{i\vec k_j \cdot \vec r}\chi_s,$$
där $\chi_s(s=\pm 1/2)$ är spinnvågfunktionen och varje vågvektor
$|\vec k|<k_F$ uppträder $2ggr$ (en för vardera spinnriktningen). Denna
modell leder till en konstant elektronisk laddningstäthet:

$$\rho(\vec r)=-e\sum_{i}|\psi_i(\vec r)|^2.$$
Detta innebär att Hartree-potentialen är konstant:

$$e^2\sum_{j}\int d^3r'|\psi_j(\vec r)|^2\frac{1}{|\vec r-\vec r'|}$$
$$\sim \int d^3r' \frac{1}{|\vec r-\vec r'|}=\int d^3r{1\over r}$$
Denna konstanta potential går ut mot den konstanta joniska attraktiva
bakgrundspotentialen.

Hartree-Fock-ekvationen reduceras då till 

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi_i(\vec r)-\sum_{j}\int
d^3r'\frac{e^2}{|\vec r-\vec r'|}\psi_j^{*}(\vec r')\psi_i(\vec
r')\psi_j(\vec r)\delta_{s_is_j}$$
$$=\varepsilon_i\psi_i(\vec r)$$
Hartree-Fock termen blir

$$-\sum_{j}\int d^3r'\frac{1}{V\sqrt{V}}\frac{e^2}{|\vec r-\vec r'|}
e^{-ik_j\cdot r'}e^{ik_i \cdot \vec r'}e^{ik_j \cdot \vec
r}\delta_{s_is_j}$$
$$=-\sum_{j}\psi_i(\vec r)\int\frac{d^3 r'}{V}\frac{e}{|\vec r-\vec
r'|}e^{i(k_i-k_j)\cdot (\vec r'-\vec r)}\delta_{s_is_j}$$
$$=-\sum_{j}\psi_i(\vec r){1\over V}e^2\int d^3R
\frac{e^{i(k_i-k_j)\cdot \vec R}}{R}\delta_{s_is_j}$$
$$=-4\pi e^2\sum_{j}{1\over V}\frac{1}{|\vec k_i-\vec
k_j|^2}\delta_{s_is_j}$$
$$-4\pi e^2\int_{k'<k_F}\frac{d^3k'}{(2\pi)^3}\frac{1}{|\vec k-\vec
k'|}\delta_{s_is_j}$$
Hartree-Fock ekvationen reduceras till

$$\{\frac{\hbar^2k^2}{2m}-4\pi e^2 \int_{k'<k_F} \frac{d^3
k'}{(2\pi)^3}\frac{1}{|\vec k-\vec k'|^2}\}\psi_{\vec k}(\vec r)$$
$$=\varepsilon(\vec k)\psi_k(\vec r).$$
Integralen i Fock-termen kan utföras som 

$$\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{k'<k_F}dk'k^{'2}\int_{-1}^{1} dx
\frac{1}{k^2+k^{'2}-2kk'x}$$
$$=\frac{1}{(2\pi)^2}\int_{k'<k_F}
dk'k^{'2}\frac{-1}{2kk'}\underbrace{|_{-1}^{1}\,
log(\frac{k^2+k^{'2}}{2kk'}-x}_{log \frac{(k-k')^2}{2kk'}-log
\frac{(k+k')^2}{2kk'}})$$
$$=\frac{-1}{(2\pi)^2k}\int_{k'<k_F}dk'k'\, log(\frac{k-k'}{k+k'})$$
Den återstående integralen kan också utföras i sluten form då

$$\int dk'k' log(k-k')={1\over 2}[k^{'2}log (k-k')-{k^{'2} \over
2}-kk'-k^2log(k-k')],$$
$$\int dk'k'log(k+k')={1\over 2}[k^{'2}log
(k+k')-\frac{k^{'2}}{2}+kk'-k^2log (k+k')]$$
Slutresultatet för energierna för Hartree-Fock-vågfunktionerna blir

$$\varepsilon(\vec k)=\frac{\hbar^2k^2}{2m}-\frac{2e^2}{\pi}k_F
F({k\over k_F})$$
där funktionen $F(x)$ definierats som 

$$F(x)={1\over 2}+\frac{1-x^2}{4x}log |\frac{1+x}{1-x}|.$$
Funktionen $F(x)$ är $1$ vid $x=0$ och faller som $1/3x^2$ för stora
värden på $x$. Hartree-Fock korrektionen representerar en attraktiv
potential som minskar elektrontillståndenas energi.\\

Den totala energin för ett elektronsystem i Hartree-Fock-approximationen är

$$E=2\sum_{i}E_i+\sum_{i,j}E_{ij}$$
$$=2\sum_{k<k_F}\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}-\frac{e^2k_F}{\pi}
\sum_{k<k_F}\{1+\frac{k_F^2-k^2}{2kk_F}log |\frac{k_F+k}{k_F-k}|\}.$$
Om summorna över $k$ approximeras som integraler enligt

$$\sum_{k}=V\int\frac{d^3 k}{(2\pi)^3},$$
blir den totala energin

$$E=N({3\over 5}\epsilon_F-{3\over 4}\frac{e^2k_F}{\pi}).$$
Med 

$$\frac{e^2}{2a_0}=1Ry=13,6\, eV,\quad r_s=(\frac{3}{4\pi n})^{1/3}$$
blir energin per partikel

$${E\over N}=\frac{e^2}{2a_0}\{{3\over 5}(k_F
a_0)^2-\frac{3}{2\pi}(k_Fa_0)\}$$
$$\{\frac{2.21}{(r_s/a_0)^2}-\frac{0.916}{r_s/a_0)}\}Ry.$$
Värdet för parameterna $r_s/a_0$ är mellan $2$ och $6$ för metaller.
Därigenom representerar Fock-termen en betydlig korrektion.\\

\vspace{1cm}
{\bf Avskärmning av elektron-elektron-växelverkan}\\
\vspace{0.5cm}

Uttrycket för $\varepsilon(\vec k)$ i Hartree-Fock-approximationen
leder till en logaritmisk singularitet i gradienten $\nabla
\varepsilon(\vec k)$ vid Fermiytan $k=k_F$. Detta medför att detta
uttryck inte kan användas för att beskriva elektronhastigheten i den
semiklassiska approximationen på basen av Hartree-Fock approximationen
i dess ursprungliga form. Orsaken till denna singularitet är
Coulomb-växelverkans oändliga räckvidd, vilken i själva verket bör
modifieras i kristaller så att den avskärmande effekten av
mellanliggande joner tas i beaktande.\\

Avskärmningen kan beskrivas fenomenologiskt på följande sätt. Ifall en
positiv jon placeras i en elektrongas kommer den att attrahera
elektroner och därigenom uppstår det ett överskott av negativt laddade
elektroner i dess lokala omgivning.\\

Om den införda positiva laddningen beskrivs med en laddningstäthet
$\rho^{ext}(\vec r)$, och den inducerade laddningstätheten i
elektrongasen betecknas $\rho^{ind}(\vec r)$ blir den totala
laddningstätheten

$$\rho(\vec r)=\rho^{ext}(\vec r)+\rho^{ind}(\vec r).$$
Den avskärmade totala potentialen $\phi(\vec r)$ satisfierar Poisson's
ekvation 

$$\nabla^2\phi(\vec r)=-4\pi\rho(\vec r),$$
medan potentialfältet från den positiva laddningen $\phi^{ext}(\vec
r)$ satisfierar

$$\nabla^2\phi^{ext}(\vec r)=-4\pi\rho^{ext}(\vec r).$$
Då de elektromagnetiska fält-ekvationerna är lineära är det naturligt
att antaga att det existerar en lineär relation mellan $\phi(\vec r)$
och $\phi^{ext}(\vec r)$:

$$\phi^{ext}(\vec r)=\int d^3r' \epsilon(\vec r,\vec r')\phi(\vec
r').$$

På grund av translationsinvariansen beror funktionen $\epsilon$ enbart
av avståndet mellan $\vec r$ och $\vec r'$ så att

$$\phi^{ext} (\vec r)=\int d^3r' \epsilon(\vec r -\vec r')\phi(\vec r').$$
Då detta är en konvolution leder gäller för Fouriertransformationen av
denna:

$$\stackrel{\sim}{\phi}^{ext}(\vec r)=\epsilon(\vec
q)\stackrel{\sim}{\phi}(\vec q).$$
Här är 

$$\epsilon(\vec q)=\int d^3r e^{-i\vec q \cdot \vec r}\epsilon(\vec
r),$$
$$\epsilon(\vec r)=\int \frac{d^3q}{(2\pi)^3}e^{i\vec q \cdot \vec
r}\epsilon(\vec q).$$
För den avskärmade potentialen $\stackrel{\sim}{\phi}(\vec q)$ gäller
då att

$$\stackrel{\sim}{\phi}(\vec q)=\frac{1}{\epsilon(\vec
q)}\phi^{ext}(\vec q).$$
Funktionen $\epsilon(\vec q)$ representerar mediets dielektriska
konstant. I allmänhet är $|\epsilon |>1$.\\

Fouriertranformationerna av Poisson-ekvationerna för $\phi(\vec r)$ och
$\phi^{ext}(\vec r)$ är 

$$q^2\phi(\vec q)=4\pi\rho(\vec q),$$
$$q^2\phi^{ext}(\vec q)=4\pi\rho^{ext}(\vec q).$$
Om $\chi(\vec q)$ betecknar proportionalitetsfaktorn mellan den
inducerade laddningstätheten och $\phi(\vec r)$ är

$$\rho^{ind}(\vec q)=\chi (\vec q)\phi(\vec q)$$
och

$$\frac{q^2}{4\pi}(\phi(\vec q)-\phi^{ext}(\vec q))=\chi(\vec
q)\phi(\vec q).$$
Lösningen för $\phi(\vec q)$ leder till

$$\phi(\vec q)=\frac{\phi^{ext}(\vec q)}{1-{4\pi \over q^2}\chi(\vec
q)}.$$
Sambandet mellan $\epsilon(\vec q)$ och $\chi(\vec q)$ blir därigenom

$$\epsilon(\vec q)=1-\frac{4\pi}{q^2}\chi(\vec q).$$\\

\vspace{1cm}

{\bf Thomas-Fermi-approximationen}\\
\vspace{0.5cm}

I Thomas-Fermi-approximationen utgår man från antagandet att
$\phi(\vec r)$ är en funktion som varierar med $\vec r$ bara över avstånd 
som är stora i jämförelse med atomära dimensioner. I så fall kan man
antaga att elektronenergierna i det "område" som beskrivs av vektorn
$\vec r$ är 

$$\varepsilon(\vec k)=\frac{\hbar^2k^2}{2m}-e\phi(\vec r),$$
där $\phi(\vec r)$ är den totala potentialen som de positiva jonerna i
området $\vec r$ ger upphov till. För att den kvantmekaniska
obestämdhetsprincipen skall gälla måste $\phi(\vec r)$ då vara
konstant över områden med den lineära dimensionen $1/k_F$. \\

Elektrontätheten vid $\vec r$ blir då

$$n(\vec r)=\int \frac{d^3
k}{(2\pi)^3}\frac{1}{e^{\beta[\hbar^2k^2/2m-e\phi(\vec r)-\mu]}+1}$$
Den inducerade laddningsdensiteten är $\rho^{ind}(\vec r)$ kan då
uttryckas som 

$$\rho^{ind}(\vec r)=-e[n_0(\mu+e\phi(\vec r))-n_0(\mu)].$$
Ifall potentialen $\phi$ är svag är

$$\rho^{ind}(\vec r)\simeq -e^2(\frac{\partial n_0}{\partial
\mu})\phi(\vec r),$$
varigenom koefficienten $\chi$ blir

$$\chi(\vec q)=-e^2\frac{\partial n_0}{\partial \mu},$$
ett uttryck som är oberoende av $\vec q$.\\

\noindent
I Thomas-Fermi-approximationen blir den dielektriska konstanten
därigenom

$$\epsilon(\vec q)=1+\frac{4\pi e^2}{q^2}\frac{\partial n_0}{\partial
\mu}.$$
Beteckna

$$k_0\equiv 4\pi e^2 (\frac{\partial n_0}{\partial \mu}).$$
Då är

$$\epsilon(\vec q)=1+\frac{k_0^2}{q^2}.$$
Konstanten $k_0$ kallas Thomas-Fermi-vågvektorn.\\

Approximationen kan illustreras med följande exempel. Antag att
$\phi^{ext}(\vec r)$ är Coulomb-potentialen från en punktladdning
$Q$ vid origo:

$$\phi^{ext}(\vec r)=\frac{Q}{r},$$
varvid

$$\stackrel{\sim}{\phi}^{ext}(\vec q)=\frac{4\pi Q}{q^2}.$$

Den totala potentialen $\stackrel{\sim}{\psi}(\vec q)$ blir då

$$\stackrel{\sim}{\psi}(\vec q)=\frac{1}{\epsilon(q)} \psi^{ext}(\vec
q)$$
$$=\frac{4\pi Q}{q^2+k_0^2}.$$
Fouriertransformation till positionsrymden leder till den avskärmade
Coulomb-potentialen 

$$\psi(\vec r)=4\pi Q \int \frac{d^3q}{(2\pi)^3}\frac{e^{i\vec q
\cdot \vec r}}{q^2+k_0^2}={Q\over r} e^{-k_or}.$$

Detta illustrerar hur elektronerna avskärmar den införda positiva
laddningen.\\

Vid $T=0$ är $\partial n_0/\partial\mu$ densiteten av energinivåer
vid Fermienergin:

$$\frac{\partial n_0}{\partial
\mu}=g(\varepsilon_F)=\frac{mk_F}{h^2\pi^2}.$$
Därigenom är

$$\frac{k_0^2}{k_F^2}={4\over
\pi}\frac{me^2}{\hbar^2k_F}=(\frac{16}{3\pi^2})^{2/3}
(\frac{r_s}{a_o}),$$
med
$$r_s=(\frac{3}{4\pi n})^{1/3},\quad a_0=\frac{\hbar^2}{me^2}.$$
Då $r_s/a_0=2...6$ för metaller är $k_0 \sim k_F$. Detta innebär att
positiva laddningar är avskärmade redan vid avstånd av samma
storleksordning som de interatomära avståndena.\\

\vspace{1cm}

{\bf Lindhards beskrivning av avskärmning}\\
\vspace{0.5cm}

Laddningstätheten i elektrongasen är

$$\rho=-e\sum_{i}|\psi_i(\vec r)|^2.$$

För att bestämma denna i en potential $\phi(\vec r)=\phi^{ext}(\vec
r)+\phi^{ind}(\vec r)$ bör elektronvågfunktionerna bestämmas genom
lösning av Schrödingerekvationen 

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi_i(\vec r)-e\phi(\vec r)\psi_i(\vec
r)=\varepsilon_i \psi_i(\vec r).$$
Om lösningarna till Schrödingerekvationen då $\phi=0$ betecknas
$\{\phi_i^0(\vec r)\}$ blir vågfunktionerna $\psi_i(\vec r)$ i första
ordningens störningsteori

$$\psi_{\vec k}(\vec r)=\psi_{\vec k}^0(\vec r)-e\sum_{\vec
k'}\frac{1}{\varepsilon_{\vec k}-\varepsilon_{\vec k'}}(\psi_{\vec
k'}^0,\phi \psi_{\vec k})\psi_{\vec k'}^0.$$
Matriselementet av potentialen $\phi$ är

$$(\psi_{\vec k'}^0,\phi \psi_{\vec k})=\int \frac{d^3r}{V}\phi(\vec
r)e^{i(\vec k-\vec k')\cdot \vec r}$$
Detta leder till

$$\psi_{\vec k}(\vec r)=\frac{1}{\sqrt{V}}\{e^{i\vec k\cdot \vec
r}-e\int \frac{d^3k'}{(2\pi)^3}e^{i\vec k' \cdot \vec
r}\frac{\stackrel{\sim}{\phi}(\vec k-\vec k')}{{\hbar^2k^2 \over 2m}
-{\hbar^2k'^2 \over 2m}}\},$$
där 
$$\stackrel{\sim}{\phi}(\vec q)\equiv \int d^3re^{i\vec q \cdot
\vec r}\phi(\vec r).$$
För elektrongasen kan laddningstätheten uttryckas som 

$$\rho=-e\sum f_{\vec k}|\psi_{\vec k}(\vec r)|^2,$$
där $f_{\vec k}$ är Fermi-Dirac-fördelningen för vågvektorerna $\vec
k$.\\

Då blir

$$\rho^{ind}=-e\sum f_k|\psi_k^0+\psi'_k|^2$$
$$+e\sum_{\vec k}f_{\vec k} |\psi_k^0|^2$$
$$\stackrel{\sim}{=}-e\sum_{\vec k}f_{\vec k}(\psi_{\vec k}^{0*} 
\psi_{\vec k}^{'}+\psi_{\vec k}^{'*} \psi_{\vec k}^0)$$
Här är

$$\psi_{\vec k}^{'}=-{e\over \sqrt{V}}\int
\frac{d^3k'}{(2\pi)^3}e^{i\vec k' \cdot \vec
r}\frac{\stackrel{\sim}{\phi}(\vec k-\vec k')}{{\hbar^2k^2\over
2m}-{\hbar^2k'^2\over 2m}}.$$
Summorna leder till

$$\rho^{ind}(\vec r)=+2e^2\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}f_{\vec k}\int
\frac{d^3k'}{(2\pi)^3}e^{-i(\vec k-\vec k')\cdot \vec
r}\frac{\stackrel{\sim}{\phi} (\vec k-\vec k')}{{\hbar^2k^2\over
2m}-{\hbar^2k'^2\over 2m}}$$
$$+2e^2\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}f_{\vec k}\int \frac{d^3k'}{(2\pi)^3}
e^{i(\vec k-\vec k')\cdot \vec r}\frac{\stackrel{\sim}{\phi} (\vec
k-\vec k')}{{\hbar^2k^2\over 2m}-{\hbar^2k'^2\over 2m}}$$
Fouriertransformationen av den inducerade laddningstätheten är

$$\rho^{ind}(\vec q)=\int d^3r e^{-i\vec q \cdot \vec r}\rho(\vec r)$$
Detta leder till

$$\rho^{ind}(\vec q)=2e^2 \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\int
\frac{d^3k'}{(2\pi)^3} (2\pi)^3 \delta(\vec k'-\vec k-\vec q)f_{\vec
k}$$
$$\frac{\stackrel{\sim}{\phi}(\vec k-\vec k')}{{\hbar^2\over
2m}(k^2-k'^2)}$$
$$+2e^2\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}\int
\frac{d^3k'}{(2\pi)^3}(2\pi)^3\delta(\vec k-\vec k'-\vec q)f_{\vec
k}$$
$$\frac{\stackrel{\sim}{\phi}(\vec k-\vec k')}{{\hbar^2\over 2m} (\vec
k^2-\vec k'^2)}.$$

Byte av integrationsvariabler till

$$\vec Q=\vec k'-\vec k,\quad \vec K={1\over 2}(\vec k'+\vec k)$$
i den första termen och till

$$\vec Q=\vec k-\vec k',\quad \vec k={1\over 2}(\vec k'+\vec k);$$
i den andra termen leder till

$$\rho^{ind}(\vec q)=-2e^2\int \frac{d^3 K}{(2\pi)^3}\frac{f_{\vec
K-q/2}-f_{\vec K+\vec q/2}}{{\hbar^2\over m} \vec K \cdot \vec
q}\stackrel{\sim}{\phi}(\vec q).$$
Därigenom blir proportionalitetsfaktorn $\chi(\vec q)$

$$\chi(\vec q)=-2e^2\int\frac{d^3 K}{(2\pi)^3}\frac{f_{\vec K-\vec
q/2}-f_{\vec K+\vec q/2}}{{\hbar^2\over m}\vec K\cdot \vec
q}\stackrel{\sim}{\phi}(\vec q).$$
För långa våglängder eller små $\vec q$-värden blir

$$f_{\vec K\pm \vec q/2}=\frac{1}{e^{\beta[\hbar^2(K\pm \vec
q/2)^2/2m-\mu]}+1}$$
$$\simeq f_{\vec K}\pm \frac{\hbar^2}{2}\frac{\vec K\cdot \vec
q}{m}{\partial \over \partial \mu}f_{\vec K}+O(q^2)$$
Termerna av storleksordningen $O(q)$ leder tillbaka till Thomas-Fermi
approximationen.\\

Funktionen $\chi(\vec q)$ ovan kallas Lindhard-funktionen. Vid $T=0$
är

$$\chi(\vec q)=-e^2(\frac{mk_F}{h^2\pi^2})[{1\over
2}+\frac{1-x^2}{4x}log |\frac{1+x}{1-x}|],$$
med

$$x=\frac{q}{2k_F}.$$
För stora avstånd leder Lindhard-teorin till en avskärmad
Coulomb-potential, vars form är

$$\phi(\vec r)\sim {1\over r^3}cos(2k_Fr).$$

\end{document}
