\documentstyle[12pt]{article}

\begin{document}
{\bf 13. Fasta ämnen i magnetiska fält}\\
\vspace{0.5cm}

Tätheten av magnetiska dipolmoment i ett fast ämne kallas ämnets
magnetisering, och betecknas $M$. Magnetiseringen är en funktion av
det pålagda fältet $H$. Då magnetiseringen beror av i vilket
kvanttillstånd $|n>$ ämnet befinner sig blir den genomsnittliga eller
termodynamiska magnetiseringen vid en temperatur $T$

$$M(H,T)=\frac{\sum_{n}M_n(H)e^{-\beta E_n}}{\sum_{n}e^{-\beta E_n}},$$
där $\beta=1/k_BT$. $E_n$ är här energin i tillståndet $|n>$ under pålagt
yttre fält så att

$$M_n=-{1\over V}\frac{\partial E_n(H)}{\partial H}.$$
Då partitionsfunktionen är

$$Z=\sum_{n}e^{-E_n/k_BT}$$
definieras den fria energin i ämnet som

$$F=-k_BT \; log Z.$$
Magnetiseringen kan därför också uttryckas som

$$M=-{1\over V} \frac{\partial F}{\partial H}.$$
Den magnetiska suskeptibiliteten i ett fast ämne definieras som

$$\chi=\frac{\partial M}{\partial H}.$$

För en atom med $N_e$ elektroner är elektronernas kinetiska energi då atomen
befinner sig i ett magnetiskt fält

$$T_e={1\over 2m}\sum_{i=1}^{N_e}(p_i+{e\over c}\vec A (\vec r_i))^2$$
Ifall fältet $\vec H$ är konstant gäller att

$$\vec A(\vec r_i)=-{1\over 2}\vec r_i \times \vec H$$
så att

$$T_e={1\over 2m}\sum_{i=1}^{N_e}(\vec p_i-{e\over 2c}\vec r_i \times
\vec H)^2.$$

Elektronernas spin bidrar en potentialenergi

$$\Delta H=-\sum_{i}\vec \mu_i \cdot \vec H,$$
där de magnetiska momenten definieras som

$$\vec \mu={1\over 2c}\vec r \times \vec j={1\over 2c}\vec r \times
(-e\vec v)$$
$$=-\frac{e}{2mc}\vec l$$
För en elektron gäller att banimpulsmomentet $\vec l$ ersätts med dess
spinnvektor 

$$\vec l=g_0\vec S$$
där $\vec S$ är spinnvektorn och $g_0$ den gyromagnetiska faktorn vars
värde är

$$g_0=2[1+\frac{\alpha}{2\pi}+O(\alpha^2)]=2.0023.$$
Därigenom blir

$$\Delta H=g_0 \mu_B \vec H \cdot \vec S=g_0 \mu_B\vec H \cdot
\vec S=g_0 \mu_B HS_Z$$
om $\vec H$ väljs i $Z$-riktningen och $\mu_B$ är Bohr-magnetonen

$$\mu_B={e\hbar \over 2mc}=0.579 \cdot 10^{-8}eV/G.$$
Den totala elektroniska energin i det magnetiska fältet blir

$$T=\sum_{i}\frac{\vec P_i^2}{2m}+\mu_B(\vec L+g_0\vec S)\cdot \vec
H$$
$$+\frac{e^2}{8mc^2}H^2\sum_{i}(x_i^2+y_i^2).$$
Här är $\vec L$ och $\vec S$ de totala banimpulsmoment- och
spinnvektorerna respektive:

$$\hbar \vec L \equiv \sum_{i} \vec r_i \times \vec p_i,$$
$$\vec S=\sum_{i}\vec S_i.$$
Beteckna 

$$T=T_0+\Delta H,$$
där

$$T_0=\sum_{i}\frac{\vec p_i^2}{2m}$$

\noindent
I andra ordningens störningsteori blir korrektionen till en elektrons
energi i ett tillstånd $|n>$ i ett magnetiskt fält

$$E_n \Rightarrow E_n+\Delta E_n;$$
$$\Delta E_n=<n|\Delta H|n>+\sum_{n' \neq n}\frac{|<n|\Delta
H|n'>|^2}{E_n-E_{n'}}.$$
Om termer av ordningen $H^2$ medtas fås då explicit

$$\Delta E_n=\mu_B\vec H \cdot <n|\vec L+g_0 \vec S|n>$$
$$+\sum_{n\neq n'}\frac{<n|\mu_N \vec H \cdot (\vec L+g_0 \vec
S)|n'>|^2}{E_n-E_n'}$$
$$+\frac{e^2}{8mc^2}H^2<n|\sum_{i}(x_i^2+y_i^2)|n>.$$

Den lineära termen i $H$ är i allmänhet den dominerande ävenom också
den är liten för små fält:

$$\mu_BH\sim \frac{\hbar eH}{mc}\sim \hbar \omega_c \sim
10^{-8}eVH/G.$$
Den sista termen i $\Delta E_n$ har en mycket mindre storleksordning
som kan uppskattas som

$$\frac{e^2}{8mc^2}H^2 a_0^2 \approx \hbar \omega_c(\frac{\hbar
\omega_c}{e^2/a_0}).$$
Då $e^2/a_0\simeq 27 eV$ blir hela termen ca. $10^{-5}\; ggr$ den
lineära termen då $H\sim 10^4 G$.\\

\vspace{1cm}

{\bf Larmor-diamagnetism}\\
\vspace{0.5cm}

För atomer eller joner med fullständiga elektronskal gäller att $\vec
S=\vec L=0$ i grundtillståndet. Detta innebär att energikorrektionen i
ett konstant magnetiskt fält $\vec H$ för sådana blir

$$\Delta E_0=\frac{e^2}{8mc^2}H^2 <0|\sum_{i}(x_i^2+y_i^2)|0>$$
$$=\frac{e^2}{12mc^2}H^2<0|\sum r_i^2|0>$$
Vid låga temperaturer är jonerna i en kristall av sådana ämnen i sina
grundtillstånd så att suskeptibiliteten blir

$$\chi=-n\frac{\partial^2}{\partial H^2}\Delta
E_0=-\frac{e^2}{6mc^2}n<0|\sum r_i^2|0>.$$
Detta innebär att systemet är diamagnetiskt och därigenom att
magnetiseringen är riktad mot det pålagda yttre magnetiska fältets
riktning. Detta fenomen kallas Larmor-diamagnetism.\\

Den kvadratiska genomsnittsnadien för en jon definieras som

$$<r^2>={1\over Z}<0|r_i^2|0>,$$
där $Z$ är jonens totala antal elektroner. Vidare definieras den
molära suskeptibiliteten $\chi^{mol}$ som $\chi\,\, ggr$ volymen för en
mol $nN_A$ ($N_A$=Avogadros tal). Härigenom fås

$$\chi^{mol}=-ZN_A\frac{e^2}{6mc^2}<r^2>$$
$$=-Z(\frac{e^2}{\hbar c})^2 \frac{N_A a_0^3}{6}<(\frac{r}{a_0})^2>.$$
$$-0.79 Z<(\frac{r}{a_0})^2>\cdot 10^{-6}cm^3/mol.$$
Detta innebär att $\chi^{mol}\sim -10^{-5}cm^3/mol.$ De empiriska
värdena för ädelgaskristallerna är

\begin{center} 
\begin{tabular}{cc}
 & $\chi^{mol}(10^{-6}cm^3/mol)$ \\
$He$ & -1.9 \\
$Ne$ & -7.2 \\
$A$ & -19.4 \\
$Kr$ & -28 \\
$Xe$ & -43 .\\
\end{tabular}
\end{center}
\vspace{1cm}

\noindent
Värdena för alkalihalider är av samma storleksordning.

\vspace{1cm}

{\bf Suspektibiliteten för system av joner med ofullständiga
elektronskal}\\
\vspace{0.5cm}

Ifall jonernas elekronskal är ofullständiga men $J=0$ i
grundtillståndet för elektronerna är

$$<0|\mu_B \vec H \cdot (\vec L+g_0 \vec S)|n>\neq 0,$$
och båda termerna av ordningen $H^2$ bidrar till energiförändringen:

$$\Delta E_0=\frac{e^2}{8mc^2}H^2<0|\sum_{i}(x_i^2+y_i^2)|0>$$
$$-\sum_{n}\frac{|<0|\mu_B\vec H\cdot (\vec l+g_0\vec
S)|0>|^2}{E_n-E_0}$$
Suskeptibiliteten blir då

$$\chi=-n\frac{\partial^2 \Delta
E_0}{\partial H^2}$$
$$=-n\{\frac{e^2}{4mc^2}<0|\sum(x_i^2+y_i^2)|0>$$
$$-2\mu_B^2 \sum_{n} \frac{|<0|L_z+g_0S_z|0>|^2}{E_n-E_0}\}$$
Den första termen är den diamagnetiska Larmor-termen. Den andra termen
vars tecken är motsatt leder till paramagnetiskt beteende. Denna
kallas Van Vleck paramagnetism. Systemets beteende är diamagnetiskt
eller paramagnetiskt beroende på vilkendera termen är den dominerande.
Detta avhänger av elektronskalets detaljer.\\

Ifall $J\neq 0$ i elektronskalets grundtillstånd uppträder $2J+1$ -
nivåer med $J_Z$-värdena $-J,-J+1,...+J$ för vilka energiskillnadena är
små i jämförelse med $k_BT$. Ett statistiskt medelvärde över dessa bör
då beräknas.\\

För beräkningen av detta kan man utnyttja det s.k.
Wigner-Eckart-teoremet enligt vilket

$$<LSJJ_Z|\vec L +g_0\vec S|LSJJ'_Z>$$
$$=g_{LSJ}<LSJJ_Z|\vec J|LSJJ'_Z>.$$
Proportionalitetsfaktorn $g_{LSJ}$ kallas Landé-faktorn. Denna kan
beräknas på följande sätt.\\

\noindent
Ifall

$$<LSJJ_Z|\vec L +g_0 \vec S |LSJJ'_Z>=g_{LSJ}<LSJJ_Z|\vec J
|LSJJ'_Z>$$
så gäller också att

$$<LSJJ_Z|\vec L \cdot \vec J+g_0\vec S \cdot \vec J 
|LSJJ'_Z>=g_{LSJ}J(J+1).$$
Vidare gäller att

$$\vec L \cdot \vec J={1\over 2}[\vec J^2+\vec L^2-\vec S^2],$$
$$\vec S \cdot \vec J={1\over 2}[\vec J^2-\vec L^2+\vec S^2].$$
Genom att uttnyttja dessa kvadratiska operatorrelationer i ekvationen
ovan är det lätt att härleda uttrycket

$$g_{LSJ}={1\over 2}[1+g_0-(g_0-1)\frac{L(L+1)-S(S+1)}{J(J+1)}]$$
för Landé-faktorn.\\

För joner med $J\neq 0$ blir energiförändringen till lägsta ordningen
i $\vec H$:

$$\Delta E_0=\simeq_Bg_{LSJ}H<LSJJ_Z|J_Z|LSJJ_Z>$$
$$=\mu_Bg_{LSJ}H J_Z.$$
Partitionsfunktionen blir

$$Z=\sum_{J_Z=-J}^{J} e^{-\beta \gamma HJ_Z},$$
där
$$\gamma \equiv g(LSJ) \mu_B.$$
Då $Z$ har formen av en ändlig geometrisk serie kan summan över $J_Z$
utföras med resultatet

$$Z=\frac{e^{\beta \gamma H(J+1/2)}-e^{-\beta \gamma H(J+1/2}}{e^{\beta
\gamma H/2}-e^{-\beta \gamma H/2}}$$
$$=\frac{sinh\{\beta \gamma H(J+1/2\}}{sinh\{\beta \gamma H/2\}}.$$
Motsvarande fria energi är

$$F=-k_BT\, log Z.$$
Magnetiseringen är

$$M=-n\frac{\partial F}{\partial H}=nk_BT {1\over Z} \frac{\partial
Z}{\partial H}$$
$$\equiv n\gamma JB_g(\beta \gamma JH)$$
Här har den s.k. Brillouin-funktionen $B_J(x)$ definierats som

$$B_J(x)=\frac{2J+1}{2J} coth \frac{2J+1}{2J} x-{1\over 2J}coth
{x\over 2J}$$
Vid låga temperaturer (eller mycket stora fältsstyrkor) är

$$B_J(x)\sim 1$$
så att magnetiseringen är fullständig:

$$M=n\gamma J.$$
Vid höga temperaturer och svaga magnetiska fält blir däremot

$$B_j(x)\approx \frac{J+1}{3J}x,$$
så att

$$M\simeq {n\gamma \over 3}(J+1)\gamma \beta H.$$
Suskeptibiliteten blir

$$\chi={\partial M\over \partial
H}=n\frac{(g_{LSJ}\mu_B)^2}{3}\frac{J(J+1)}{k_BT}.$$
Suskeptibilitetens inversa temperaturberoende kallas Curie's lag.
Denna gäller i allmänhet då

$$k_BT>>\mu_BH.$$

Ett vanligt sätt att parametrisera Curie-lagen är att skriva den i
formen

$$\chi={1\over 3}n\frac{\mu_B^2p^2}{k_BT},$$
där
$$p\equiv g_{LSJ}\sqrt{J(J+1)}.$$
Empiriska resultat ges då för koefficienten $p$. Det teoretiska värdet
ovan är i god överensstämmelse med data för lantanider.

\vspace{1cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{cccc}
 & $P$ teori & $P_{EXP}$ & \\
$Ce$ & 2.54 & 2.4 & \\
$Pr$ & 3.58 & 3.5 & \\
$Nd$ & 3.62 & 3.5 & \\
$Sm$ & 0.84 & 1.5 & \\
$Ev$ & 0.00 & 3.4 & $(J=0)$ \\
$Gd$ & 7.94 & 8.0 & \\
$Tb$ & 9.72 & 9.5 & \\
$Dy$ & 10.63 & 10.6 & \\
$Ho$ & 10.60 & 10.4 & \\
$Er$ & 9.59 & 9.5 & \\
$Tm$ & 7.57 & 7.3 & \\
$Yb$ & 4.54 & 4.5 & \\
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1cm}

{\bf Elektrongasens paramagnetism}\\
\vspace{0.5cm}

Om elektronerna i en metall växelverkar med ett pålagt yttre
magnetiskt fält enbart genom spinnets koppling till fältet är deras
potentialenergi i ett magnetiskt fält

$$\vec E=-g_o\mu_B\vec H \cdot \vec S,$$
där $\vec S$ är spinnvektorn. Om $g_0 \approx 2$ är energin för
elektroner i fältets riktning $-\mu_BH$ och $\mu_BH$ för de som är
motsatt riktade. Magnetiseringen blir då

$$M=-\mu_B(n_{+}-n_{-}),$$
om $n_{+}$ betecknar densiteten av elektroner med "spinn upp" och
$n_{-}$ densiteten av elektroner med "spinn ned" (dvs riktat mot
fältet).\\

Låt $g(\varepsilon)$ beteckna elektronernas energinivåtäthet så att
$g(\varepsilon) d\varepsilon$ är antalet energitillstånd i
energiintervallet $d\varepsilon$.\\

I frånvaron av ett yttre fält är

$$g_{\pm}(\varepsilon)={1\over 2}g(\varepsilon).$$
I ett yttre fält blir däremot

$$g_{+}(\varepsilon)={1\over 2}g(\varepsilon-\mu_BH),$$
$$g_{-}(\varepsilon)={1\over 2}g(\varepsilon +\mu_BH).$$

Motsvarande elektrontätheter blir

$$n_{\pm}=\int d\varepsilon g_{\pm}(\varepsilon)f(\varepsilon),$$
där $f(\varepsilon)$ är Fermi-Dirac distributionen 

$$f(\varepsilon)=\frac{1}{e^{\beta(\varepsilon-\mu)}+1}.$$
Den totala elektrondensiteten är

$$n=n_{+}+n_{-}.$$
Denna ekvation kan användas till att bestämma den kemiska potentialen
$\mu$ som funktion av $T$ och $n$.

Då den magnetiska energin $\mu_BH$ är mycket mindre än Fermienergin
$\varepsilon_F$ kan man utnyttja följande approximation:

$$g_{\pm}(\varepsilon)={1\over 2}g(\varepsilon \mp {1\over 2}
\mu_BHg'(\varepsilon)).$$
Detta leder till att

$$n_{\pm}={1\over 2}\int d\varepsilon g(\varepsilon)f(\varepsilon)\mp
{1\over 2} \mu_BH\int d\varepsilon g'(\varepsilon)f(\varepsilon).$$
Addition av $n_{+}$ och $n_{-}$ ger då

$$n=\int d\varepsilon f(\varepsilon) g(\varepsilon).$$
Då detta är samma uttryck för $n$ som gäller i frånvaron av ett
magnetiskt fält kan man använda samma uttryck  för den kemiska
potentialen som i frånvaron av ett magnetiskt fält:

$$\mu \simeq \varepsilon_F\{1+0(\frac{k_BT}{\varepsilon_F})^2\}.$$
Magnetiseringen blir

$$M=-\mu_B(n_{+}-n_{-})=\mu_B^2H\int
d\varepsilon g'(\varepsilon)f(\varepsilon)_q$$
$$=\mu_B^2H \int d\varepsilon g(\varepsilon) \frac{\partial
f}{\partial \varepsilon}.$$
Vid $T=0$ är

$$\frac{\partial f}{\partial \varepsilon}=-\delta
(\varepsilon-\varepsilon_F),$$
så att
$$M=\mu_B^2 Hg(\varepsilon_F).$$
Suskeptibiliteten blir

$$\chi=\mu_B^2g(\varepsilon_F)$$
Denna paramagnetiska elektriska suskeptibilitet kallas Pauli
paramagnetism.\\

\noindent
För en fri elektrongas gäller att

$$g(\varepsilon_F)=\frac{mk_F}{\hbar^2\pi^2}.$$
Med detta uttryck kan den elektroniska paramagnetiska
suskeptibiliteten skrivas i formen

$$\chi_{Pauli}=({\alpha \over 2\pi})^2(a_0k_F),$$
där $\alpha$ är finstrukturkonstanten

$$\alpha=\frac{e^2}{\hbar c}\simeq {1\over 137}$$
och $a_0$ är Bohr-radien för väteatomen:

$$a_0={\hbar^2 \over me^2} \sim 0.53 \stackrel{.}{A}.$$
Elektronernas paramagnetiska suskeptibilitet är mycket mindre än det
joniska bidraget till suskeptibiliteten.\\

\vspace{1cm}

{\bf Landau-diamagnetism}\\
\vspace{0.5cm}

Energinivåerna för en eletrongas i ett yttre magnetiskt fält är

$$E=\hbar \omega(n+{1\over 2})+\frac{\hbar^2k_z^2}{2m},$$
där oskillatorfrekvensen $\omega$ är

$$\omega=\frac{eH}{mc}.$$
Varje oskillatornivå är degenererad och motsvarar

$$\frac{L^2e H}{2\pi \hbar c}$$
kvanttillstånd med samma energi.\\

Omfördelningen av elektrongasens rörelsemängdstillstånd i ett yttre
fält leder till diamagnetiskt beteende, vilket kallas Landau
diamagnetism. För beräkningen av motsvarande diamagnetiska
suskeptibilitet kan man utnyttja uttrycket för den s.k. stora
potentialen för ett fermionsystem:

$$\Omega=-k_BT \sum_{k} log(1+e^{\beta(\mu-\epsilon_k)}).$$
Partikelantalet ges då som

$$N=-(\frac{\partial \Omega}{\partial \mu})_H.$$
Relationen mellan den stora potentialen $\Omega$ och den fria energin
är

$$F=N\mu+\Omega.$$
Magnetiseringen ges av

$$M=-{1\over V}(\frac{\partial \Omega}{\partial H})_\mu.$$
Det explicita uttrycket för $\Omega$ blir 

$$\Omega=-{2\over \beta} \sum^{\infty}_{n=0}\int_{-\infty}^{\infty}
dk_z {L\over 2\pi}(\frac{L^2eH}{2\pi \hbar c})$$
$$log\{1+z e^{-\hbar^2k_z^2\beta/2m}e^{-\beta \hbar \omega
(n+1/2)}\},$$
där $z$ är fugaciteten:

$$z=e^{\beta \mu}.$$
Härav fås

$$\Omega=-\frac{VeH}{2\pi^2\hbar c\beta}\int_{-\infty}^{\infty}
dk_z\sum_{n=0}^{\infty} log \{1+ze^{-\hbar^2k_z^2\beta/2m}e^{-\beta
\hbar \omega(n+1/2)}\}.$$

Det är naturligt att approximera summan över $n$ med en integral:

$$\sum_{n=0}^{\infty}f(n+{1\over 2})\simeq \int_{0}^{\infty} dx
f(x).$$
Å andra sidan ger $n=0$ termen det största bidraget, som inte blir väl
approximerat i integralapproximationen. Den första biten av integralen
över intervallet [0,1] bör approximera $f(1/2)$:

$$\int_{0}^{1} dxf(x)=f({1\over 2})+\delta$$
Felternen $\delta$ kan utvecklas som

$$\delta=\int_{0}^{1} dx[f(1/2)+(x-{1\over 2})f'({1\over 2})+{1\over
2}(x-{1\over 2})^2f''({1\over 2})]-f(1/2)$$
$$\simeq {1\over 2}f''({1\over 2})\int_{0}^{1} dx (x-{1\over 2})^2
\simeq {1\over 24}f''({1\over 2}).$$
Detta kan utnyttjas till en förbättrad approximation:

$$\sum_{n=0}^{\infty}f(n+{1\over 2})\simeq
\int_{0}^{\infty}dxf(x)-{1\over 24}f''({1\over 2}).$$
Vidare är $$f''({1\over 2})\simeq f'(1)-f'(0)\simeq -f'(0)$$
ifall funktionen $f(n+{1\over 2})$ faller snabbt med ökande $n$. Detta
leder till Eulers summeringsregel:

$$\sum_{n=0}^{\infty}f(n+{1\over 2})\simeq
\int_{0}^{\infty}dxf(x)+{1\over 24}f'(0).$$
Med hjälp av Eulers formel kan den stora potentialen $\Omega$
uttryckas som

$$\Omega=\Omega_1+\Omega_2$$
där

$$\Omega_1=-\frac{VeH}{2\pi^2\hbar
c\beta}\int_{-\infty}^{\infty}dk_z\int_{0}^{\infty} dx\, log
\{1+ze^{-\hbar^2k_z^2\beta/2m}e^{-\hbar \omega x\beta}\},$$
$$\Omega_2=-\frac{VeH}{48\pi^2\hbar c\beta}\int_{-\infty}^{\infty}
dk_z\frac{-\beta \hbar \omega z
e^{-\hbar^2k_z^2\beta/2m}}{1+ze^{-\hbar^2k_z^2\beta/2m}}$$

I den första termen är det naturligt att byta integrationsvariabler
till $\epsilon$ och $k_z$:

$$\epsilon=\hbar \omega x+\hbar^2k_z^2/2m$$
Notera att integralen över $k_z$ kan begränsas till halvlinjen
$[0_{'}+\infty]$ ifall den multipliceras med $2$.\\

\noindent
Vidare är

$$dx=\frac{d\epsilon}{\hbar \omega},$$
så att

$$\Omega_1=-\frac{VeH}{\pi^2\hbar
c\beta}\int_{0}^{\infty}dk_z\int_{\hbar^2k_z^2/2m}^{\infty}
d\epsilon(\frac{1}{\hbar \omega})log [1+ze^{-\beta \epsilon}]$$
Då $\omega=eH/mc$ blir

$$\Omega_1=-\frac{Vmc}{\pi^2\hbar^2c\beta}\int_{0}^{\infty}dk_z\int_{\hbar
^2k_z^2/2m}^{\infty}d\epsilon \, log [1+ze^{-\beta \epsilon}]$$
Det enda beroendet av $H$ i detta uttryck uppträder genom den kemiska
potentialen $\mu$ i fugaciteten. Då den kemiska potentialen är
oberoende av $H$ vid låga temperaturer kommer $\Omega_1$ därför inte
att bidra till elektrongasens magnetisering.\\

I termen $\Omega_2$ kan integrationsvariabeln $k_z$ bytas till
$\epsilon$:

$$\epsilon=\frac{\hbar^2 k_z^2}{2m},$$
så att

$$\Omega_2=\frac{V e^2H^2}{24\pi^2\hbar c^2m}\sqrt{{m\over
2}}\underbrace{\int_{0}^{\infty}de\frac{ze^{-\beta \epsilon}}
{\sqrt{\epsilon}(1+z
e^{-\beta \epsilon})}}_{\int_{0}^{\infty} d\epsilon
\frac{1}{\sqrt{\epsilon}(1+{1\over z}e^{+\beta \epsilon})}}$$
Integralen i detta uttryck är

$$I=\int_{0}^{\infty} d\epsilon {1\over
\sqrt{\epsilon}}\frac{1}{1+e^{\beta \epsilon-\beta \mu}}$$
Den andra faktorn är Fermi-Dirac-distributionsfunktionen som vid $T=0$
är en stegfunktion:

$$\frac{1}{1+e^{\beta\epsilon -\beta \mu}} \simeq
\theta(\epsilon_F-\epsilon),$$
med $\mu(0)=\epsilon_F$. Integralen kan därför vid låga temperaturer
approximeras som

$$I\simeq
\int_{0}^{\mu}\frac{d\epsilon}{\sqrt{\epsilon}}=2\sqrt{\mu}=2\sqrt{\epsilon_F}.$$
Vid låga temperaturer blir därför

$$\Omega_2\simeq \frac{Ve^2 H^2}{12\pi^2\hbar c^2m}\sqrt{{m\epsilon_F
\over 2}}.$$
Med $\mu_B\equiv \frac{\hbar e}{2mc}$
blir

$$\Omega_2\simeq \frac{V \mu_B^2 H^2}{3\pi^2\hbar^3}
m^{3/2}\sqrt{\frac{\epsilon_F}{2}}.$$
Magnetiseringen vid låga temperaturer blir

$$M=-{1\over V}(\frac{\partial \Omega}{\partial H})=-\frac{2\mu_
B^2H}{3\pi^2\hbar^3}m^{3/2} \sqrt{\frac{\epsilon_F}{2}}.$$
Relationen mellan Fermienergin och partikeltätheten är

$$\epsilon_F^{3/2}=\frac{\hbar^3}{m^{3/2}}\frac{3\pi^2}{2\sqrt{2}}n.$$
Detta kan utnyttjas till att uttrycka magnetiseringen som 

$$M=-\frac{n\mu_B^2}{2\epsilon_F}H.$$
Elektrongasens diamagnetiska suskeptibilitet blir

$$\chi_{diamagn}=-\frac{n\mu_B^2}{2\epsilon_F}.$$
Denna diamagnetiska suskeptibilitet bör adderas till den
paramagnetiska Pauli-suskeptibiliteten

$$\chi_{para}=+{3\over 2}\frac{n\mu_B^2}{\epsilon_F}.$$
Under normala omständigheter är den paramagnetiska suskeptibiliteten
den dominerande termen. Den diamagnetiska suskeptibiliteten kan
dominera i sådana situationer där elektronernas effektiva massa i
kristallen är mycket mindre än den fria elektronens massa. Ett exempel
på en sådan situation är vismut som har en mycket stor diamagnetisk
suskeptibilitet.

\end{document}
