\documentstyle[12pt]{article}

\begin{document}

{\bf 12. Kvantmekanisk beskrivning av resistivitet}\\
\vspace{0.5cm}

I Drudes klassiska teori för elektronerna i metaller förklaras den
elektriska resistiviten som en konsekvens av elekronernas kollisioner
med jongittret och därmed sammanhängande energiförlust. I den
kvantmekaniska beskrivningen av elektrongasen i ett periodiskt gitter
är resistiviteten uteslutande en följd av imperfektioner i gittrets
periodiska struktur. I ett perfekt periodiskt gitter beskrivs
elektrontillstånden som Bloch-tillstånd $\psi_{n\vec k}(\vec r)$, som
är stationära. Detta innebär att grupphastigheten

$$\vec v_g=\nabla_{\vec k}\varepsilon_n(\vec k)$$
för varje tillstånd är en tidsoberoende konstant vektor. Det finns
ingen mekanism för degradering av elektronernas hastighet i ett
perfekt gitter som därför bör vara supraledande om nollpunktsenergin
inte tas i beaktande. Jonernas termiska vibrationsrörelse leder till
avvikelser från perfekt periodicitet i gittret och därmed till att en
ändlig resistivitet uppstår.\\

En fullständigt periodisk jonpotential är helt statisk:

$$U^{per}(\vec r)=\sum_{\vec R}V(\vec r-\vec R).$$
Om jonernas avvikelser $\vec u(\vec R)$ från sina jämviktslägen tas i
beaktande blir den verkliga potentialfunktionen

$$U(\vec r)=\sum_{\vec R}V(\vec r-\vec R-\vec u(\vec R))$$
$$=U^{per}(\vec r)-\sum_{\vec R}\vec u(\vec r)\cdot \vec \nabla_{\vec
r}V(\vec r-\vec R)+...$$
Korrektionstermen som är lineär i avvikelserna $\vec u$ kan tas i
beaktande som en störningsterm $H'$ som bör adderas till den
fullständigt periodiska hamilton-operatorn för växelverkan mellan
elektronerna och jonerna.
Denna kommer at leda till transitioner mellan olika Bloch-tillstånd,
och möjliggör därmed att elektronernas energi och hastighet kan
förandras, vilket är orsaken till resistiviteten.\\

Störningstermen kan beskrivas som en operator för kreation och
absorption av fononer:

\vspace{4cm}

\noindent
I kreationsprocessen för en fonon med rörelsemängden $\vec q$ och
energin $\hbar \omega(\vec q)$ gäller

$$\varepsilon_{\vec k'}+\hbar \omega(\vec q)=\varepsilon_{\vec
k},\quad \vec q+\vec k'=\vec k.$$
Vid motsvarande absorptionsprocess gäller

$$\varepsilon_{\vec k'}=\varepsilon_{\vec k}+\hbar \omega(\vec q),
\quad \vec q-\vec k=\vec k'.$$
Dessa ekvationer kan sammanfattas i formen

$$\omega(\vec q)=\pm {1\over \hbar} [\varepsilon_{\vec k+\vec
q}-\varepsilon_{\vec k}].$$

Denna ekvation begränsar de tillåtna vågvektorerna $\vec q$ som kan
uppträda i transitionsprocesserna. Fononenergin $\hbar \omega(\vec q)$ är
mycket mindre än Ferminenergin $\varepsilon_F$ so att
$\varepsilon_{\vec k +\vec q}$ skiljer sig mycket litet från
$\varepsilon_{\vec k}$.\\

Antalet fononer med energin $\hbar \omega (\vec q)$ är

$$n(\vec q)=\frac{1}{e^{\beta \hbar \omega (\vec q)}-1}.$$
Vid höga temperaturer är $\beta$ litet och

$$n(\vec q)\approx \frac{k_BT}{\hbar \omega(\vec q)}.$$
Då antalet fononer är proportionellt mot $T$ blir resistiviteten också
proportionell mot $T$, eftersom fononantalet bestämmer raten för
degradering av elektronhastigheten. Vid höga temperaturer - dvs
rumstemperatur och högre gäller således att
$$\rho \sim T.$$

Vid låga temperaturer gäller att enbart fononer vars energi $\hbar
\omega (\vec q) \stackrel{<}{\sim} k_BT$ kan emitteras och absorberas
av elektroner. Detta följer av att de enda elektroner som kan delta i
spridningsprocesser är de vars energi ligger inom ett område kring
Fermienergin $\varepsilon_F$ vars bredd är $k_BT<<\varepsilon_F$. Då
$\hbar \omega (\vec q)$ är litet gäller att $\omega \sim cq$. Detta
leder til att 

$$|q|\stackrel{<}{\sim}\frac{k_BT}{\hbar c},$$
och därigenom till att endast en subyta med lineär dimension $\sim T$
(och area $\sim T^2$) av ytan 

$$\omega(\vec q)=\pm {1\over \hbar}[\varepsilon_{\vec k+\vec
q}-\varepsilon_{\vec k}]$$
kan bidra tillåtna fononvågvektorer till emissions- och
absorptionsprocesserna.\\

Vidare bör tas i beaktande att vid låga temperaturer
elektron-fonon-växelverkans styrka är proportionell mot $\sqrt{T}$. Då
denna uppträder kvadrerad i träffytan för spridningsprocesser gäller
att resistiviteten vid låga temperaturer blir proportionell mot $T^3$:

$$\rho \sim T^3.$$

Det faktum att fononenergierna $\hbar \omega (\vec q)$ är mycket små
i jämförelse med elektronenergierna $\varepsilon_{\vec k}$ och
$\varepsilon_{\vec k+\vec q}$ gör att $\vec k \approx \vec k+\vec q$
vid låga temperaturer, vilket innebär att elektron-fonon spridningar
träffytan är koncentrerad till vinklar i en smal kon kring $\vec k$ -
dvs den är framåtpikad.\\

Denna geometriska effekt tillför en ytterligare faktor

$$(1-cos \theta)=2sin^2\theta/2$$
$$={1\over 2}(\frac{q}{k_F})^2$$
till spridningsraten. Då $q\sim T$ ger denna faktor upphov till en ytterligare
faktor $T^2$ till resistiviteten vilken småledes blir proportionell
mot $T^5$:

$$\rho \sim T^5$$
vid mycket låga temperaturer.

\end{document}

