\documentstyle[12pt]{article}

\begin{document}
\centerline{\bf Faststoffysik 1993}
\vspace{2cm}

Litteratur \hspace{1cm} Ashcroft \& Mermin, Solid State Physics\\

\hspace{3cm} Kittel, Introduction to Solid State Physics\\
\newpage
{\bf 1. Elektronstrukturen i fasta ämnen}\\

\vspace{0.5cm}

Fasta ämnen består av elektroner och joner. Genom att jonernas massa
är flere tusen gånger större än elektronernas (jfr. $m_p \simeq 1840
m_e$) är elektronernas och jonernas dynamik i många avseenden svagt
kopplade till varandra, så att de elektroniska och de joniska
egenskaperna i en första approximation kan beskrivas oberoende av
varandra. Elektronernas lätta massa gör deras mobilitet många
storleksordningar större än jonernas, och därigenom bestäms t. ex.
fasta ämnens elektriska ledningsförmåga huvudsakligen av
elektronsystemets egenskaper. Beskrivningen av dessa bygger på en
bild av en "gas" av fria elektroner som rör sig i en bakgrund  av
statiska positivt laddade joner. En förenkling är att anta att
jonernas positiva laddning är kontinuerligt och uniformt fördelad i
ämnet så att dess enda roll ät att balansera elektronernas negativa
laddning så att systemet är elektriskt neutralt.\\

Den klassiska beskrivningen av elektrogasen i fasta ämnen kallas
Drudeteorin. Denna är enkel, och ger rätt storleksordning för de
flesta storheter vid rumstemperatur men kan inte beskriva
transportkoefficienternas temperaturberoende. En realistisk
beskrivning av elektrongasen i fasta ämnen förutsätter att
elektrongasen beskrivs som en degenererad Fermi-Dirac idealgas. För
att inse den kvantmekaniska beskrivningens överlägsenhet är det dock
naturligt att först genomgå den enklare (om än i detalj felaktiga)
Drudeteorin.\\

\vspace{2cm}
{\bf 1.1. Drudes elektrongasteori}\\

\vspace{0.5cm}

Utgångspunkten för den klassiska elektrongasteorin är att elektronerna
i ett fast ämne (i allmänhet avses i detta sammanhang en metall) kan
betraktas som en gas av klassiska partiklar med massan $m_e$ och
laddningen $-e$. Om ämnets atomer har $Z$ valenselektroner, bidrar
varje atom med $Z$ elektroner till elektrontätheten.\\

Antalet atomer per mol anges av Avogadros tal $N_A=0.6022 \cdot
10^{24}$. Om atommassan är $A$ och ämnets densitet (täthet) är
$\rho_m$, blir antalet mol per volym-enhet $\rho_m/A$. Antalet
elektroner per volymenhet blir då

$$n=N_A \cdot \frac{Z \rho_m}{A}.$$

\noindent
Empiriskt gäller att elektrotätheten $n$ är mellan $1 \cdot
10^{22}/cm^3$ om $25 \cdot 10^{22}/cm^3$.\\

\vspace{1cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{|ccc|}\hline
 & $Z$ & $n(10^{22}/cm^3)$ \\ \hline
Li & 1 & 4.7 \\
Na & 1 & 2.65 \\
K & 1 & 1.4 \\
 & & \\
Cu & 1 & 8.47 \\
Ag & 1 & 5.86 \\
Au & 1 & 5.90 \\
 & & \\
Be & 2 & 24.7 \\
Mg & 2 & 8.61 \\
Ca & 2 & 4.61 \\
Fe & 2 & 17.0 \\
Al & 3 & 18.1 \\
 & & \\
Pb & 4 & 13.2 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

Grundantagandet i Drudeteorin är att elektronerna rör sig fritt utan
att påverkas av andra elektroner eller joner bortsett frän diskreta
kollisioner med de stationära jonerna. En grundstorhet i toerin är den
genomsnittliga tidsintervallen $\tau$ mellan kollisionerna. Denna
kallas relaxationstiden. Därtill antas att ett en elektronens
hastighet efter en kollision är statistiskt fördelad och oberoende av
hastigheten före kollisionen - dvs. hastigheten efter kollisionen beror
enbart av metallens temperatur.\\

Elektrongasens - och därigenom metallens - elektriska konduktivitet
kan beräknas på följande sätt i Drudes teori. Efter en tid $t$ efter
en kollision, och före nästa kollision, inträffar är en elektrons
hastighet

$$\vec v =\vec  v_0+\frac{\vec F}{m_e}t=\vec v_0-\frac{e \vec
E}{m_e}t,$$

\noindent
där $\vec E$ är det elektriska fältet i metallen. Då $\vec v_0$ är en
slumpmässigt fördelad vektor, för vilken alla riktningar är lika
sannolika, blir den genomsnittliga elektronhastigheten

$$<\vec v >=-\frac{e \vec E}{m_e}<t>.$$

\noindent
Den genomsnittliga tiden mellan kollisioner är $\tau$, och därigenom
blir

$$<t>=\tau,$$

\noindent
och

$$<\vec v>=\frac{e \vec E}{m_e} \tau.$$

\noindent
Strömtätheten är 

$$\vec j=\rho_c \vec v=-ne<\vec v>,$$

\noindent
där $\rho_c$ är laddningsdensiteten. Konduktiviteten i ett ämne
definieras som proportionalitetskonstanten mellan det elektriska
fältet och strömtäthetsvektorn:

$$\vec j=\sigma \vec E.$$

\noindent
För elektrongasen blir denna

$$\sigma=\frac{n e^2 \tau}{m_e}.$$

\noindent
Genom att uppmäta $\sigma$ (eller resistiviteten $1/\sigma$) fås en
metod att bestämma relaxationstiden $\tau$ empiriskt. För metaller är
denna av storleksordningen $10^{-14}s$.\\

\vspace{1cm}
\centerline{$\tau(10^{-14}S)$}

\begin{center}

\begin{tabular}{cccc} 
 & 77 K & 273 K & 373 K \\
Li & 7.3 & 0.88 & 0.61 \\
Na & 17 & 3.2 & \\
K & 18 & 4.1 & \\
Cu & 21 & 2.7 & 1.9 \\
Ag & 20 & 4.0 & 2.8 \\
Au & 12 & 3.0 & 2.1 \\
Be & & 0.51 & 0.27 \\
Fe & 3.2 & 0.24 & 0.14 \\
Pb & 0.57 & 0.14 & 0.099 \\
\end{tabular}
\end{center}


\vspace{1cm}

Antag att rörelsemängden per elektron vid tidpunkten $t$ är $\vec p
(t)$. Sannolikheten för att en godtycklig elektron som vid tidpunkten
$t$ har rörelsemängden $\vec p(t)$ undergår en kollision inom
tidsintervallet $dt$ är $dt/\tau$. Sannolikheten för att dess
rörelsemängd förändras enbart pga av de drivande yttre krafterna är då
$1-dt/\tau$. Alla sådana elektroners bidrag till den genomsnittliga
rörelsemängden vid $t+dt$ blir då

$$\vec p(t+dt)=(1-{dt \over \tau})[\vec p (t)+\vec f(t) dt]$$

\noindent
De övriga elektronerna bidrar en korrektion som är proportionell mot
$(dt)^2$, och därför blir

$$\vec p(t+dt)-\vec p(t) \approx -(\frac{dt}{\tau})\vec p(t)+\vec
f(t)dt$$

\noindent
Rörelseekvationen för $\vec p(t)$ blir då 

$$\frac{d \vec p(t)}{dt}=-\frac{\vec p(t)}{\tau}+\vec f(t)$$

Den första termen är en friktionsterm som beskriver effekten av
elektronkollisioner. \\

Då $\vec f(t)=-e \vec E(t)$, gäller ifall $\vec E(t)$ är ett harmoniskt
fält att

$$\frac{d\vec p(t)}{dt}=-\frac{\vec p(t)}{\tau}-e \vec E
(\omega)e^{-i\omega t}$$

\noindent
En stationär lösning till denna ekvation är 

$$\vec p(t)=\vec p(\omega)e^{-i \omega t},$$
$$-i \omega \vec p(\omega)=-{1 \over \tau} \vec
p(\omega)-eE(\omega),$$
$$\vec p(\omega)=-\frac{e}{{1 \over \tau}-i\omega}E(\omega).$$

\noindent
Strömtäthetsvektorn är

$$\vec j=-ne \vec v=-ne \frac{\vec p}{m};$$
$$\vec j(\omega)=+\frac{ne^2}{m({1\over \tau}-i\omega)}E(\omega)$$

\noindent
Den frekvensberoende konduktiviteten $\sigma(\omega)$ är således

$$\sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1-i\omega \tau},$$

\noindent
där $\sigma_0$ är den statiska konduktiviteten

$$\sigma_0=\frac{ne^2 \tau}{m}.$$

Utrycket för $\sigma(\omega)$ gäller förutsatt att det oskillerande
fältets våglängd är mycket större än elektronernas genomsnittliga fria
väg $\lambda$. Detta villkor är väl uppfyllt för vanligt synligt ljus,
då $\lambda \sim 10^3-10^4 Å$, vilket är många storleksordningar
större än elektronernas genomsnittliga fria väg.\\

Den dielektriska permittiviteten kan beräknas med hjälp av Maxwells
ekvationer:

$$\nabla \cdot \vec E=0 \qquad \nabla \cdot \vec H=0$$
$$\nabla \times \vec E=-\frac{1}{c} \frac{\partial \vec H}{\partial t},\;
\nabla \times \vec H=\frac{4\pi}{c} \vec j+{1 \over c} \frac{\partial
\vec E}{\partial t}$$

Här har $CGS$ systemet använts, och den relativa permeabiliteten $\mu$
och den statiska permittiviteten har antagits vara 1.\\

För harmoniskt tidsberoende $(e^{-i\omega t})$ fås

$$\nabla x (\nabla x \vec E)=-\nabla^2 \vec
E=+\frac{i\omega}{c}[\frac{4\pi \sigma}{c}-\frac{i\omega}{c}]\vec E,$$

\noindent
eller

$$\nabla^2 \vec E+\frac{\omega^2}{c^2}\epsilon(\omega)\vec E=0,$$

\noindent
där den dynamiska permittiviteten definerats som

$$\epsilon(\omega)=1+\frac{4\pi i \sigma}{\omega}.$$

\noindent
Med
$$\sigma(\omega)=\frac{\sigma_0}{1-i\omega \tau}$$

\noindent
blir
$$\epsilon(\omega)=1+\frac{4\pi i \sigma_0}{\omega(1-i\omega \tau)}$$

\noindent
För höga frekvenser $\omega \tau >>1$, blir

$$\epsilon(\omega) \approx 1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2},$$

\noindent
där $\omega_p$ är den s.k. plasmafrekvensen

$$\omega_p^2=\frac{4\pi ne^2}{m}.$$

Karaktären på lösningarna till Helmholtz ekvationen

$$\nabla^2\vec E+\frac{\omega^2}{c^2}\epsilon (\omega)\vec E=0$$

\noindent
avhänger av förtecknet på $\epsilon(\omega)$. För $\epsilon < 0$ är
lösningarna dämpade, och strålningen kan inte genomtränga metallen.
Detta inträffar då $\omega < \omega_p$. För $\omega > \omega_p$ blir
$\epsilon(\omega)>0$ och lösningarna får positiv  frekvens så att
strålningen kan genomtränga metallen. Alkalimetallerna $(Na\;K,...)$
blir transparenta då $\omega > \omega_p$. Tröskelvåglängden är

$$\lambda_p=\frac{c}{\nu_p}=\frac{2\pi c}{\omega_p}.$$

\vspace{1cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{c|c|c}\hline
 & $\lambda_p(10^3 Å)$ & $\Lambda_{obs}(10^3 Å)$ \\ \hline
Li & 1.5 & 2.0 \\
Na & 2.0 & 2.1 \\
K & 2.8 & 3.1 \\
Rb & 3.1 & 3.6 \\
Cs & 3.5 & 4.4 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1cm}
Kontinuitetsekvationen för strömtäthetsvektorn är 

$$\nabla \cdot \vec j + \frac{\partial \rho}{\partial t}=0.$$

\noindent
Ifall laddningstätheten oskillerar enligt

$$\rho(t)=\rho(\omega)e^{-i \omega t},$$

\noindent
fås 

$$\nabla \cdot \vec j (\omega)=i \omega \rho(\omega)=0.$$

\noindent
Enligt Gauss lag gäller

$$\nabla \cdot \vec E(\omega)=4\pi \rho(\omega)$$

\noindent
så att med

$$\vec j(\omega)=\sigma(\omega)\vec E(\omega)$$

\noindent
följande egenvärdesekvation för laddningstätheten uppnås:

$$[4 \pi \sigma (\omega)-i\omega]\rho(\omega)=0.$$

\noindent
Lösningen till denna är

$$1+\frac{4\pi i \sigma(\omega)}{\omega}=0,$$

\noindent
vilket är ekvivalent med

$$\omega=\omega_p,$$

\noindent
dvs. tröskelvärdet för genomskinlighet.\\

Laddningstäthets oskillationerna kallas plasmaoskillationer och
beskriver makroskopisk förskjutning av elektrongasen i förhållande
till den positiva joniska bakgrundsladdningen.\\

\vspace{1cm}
{\bf 1.2. Drudeteorins brister}\\

\vspace{0.5cm}
Det faktum att metallens värmeledningsförmåga är mycket större än
värmeledningsförmågan hos andra fasta ämnen gör det naturligt att
antaga att värmeledningsförmågan härrör sig från metalleketronernas
stora mobilitet. Värmeledningsförmågan  $\kappa$ definieras som
proportionalitetskonstanten i Fouriers empiriska lag för
värmeströmtätheten:

$$\vec j^q=-\kappa \nabla T,$$

\noindent
där $T$ är den lokala temperaturen $T(\vec r, t)$.\\

Antag att temperaturgradienten är kontant i $x$-riktningen så att
$j_x^q$ är konstant:

$$j_x^q=-\kappa \frac{dT}{dx}.$$

\noindent
Om $\varepsilon (T)$ anger den genomsnittliga termiska energin per
elektron, gäller att den genomsnittliga energin hos en elektron
efter en kollision vid $x'$ är $\varepsilon[T(x')]$.\\

De elektroner som anländer till $x$ från det håll där termperaturen är
högre har i genosnitt senast kolliderat vid $x-v \tau$, och har den
termiska energin $\varepsilon[T(x-v \tau)]$. Bidraget till den
termiska strömtätheten av dessa elektroner är då $v({n \over 2})
\varepsilon[\tau(x+vT)]$:

$$j_x^q={1\over 2} nv\{\varepsilon[T(x-v\tau)]-\varepsilon[T(x+v\tau)]\}$$
$$\approx {1 \over 2} nv^2\tau 2
\frac{d\varepsilon}{dT}(-\frac{dT}{dx})$$

\noindent
Då $<v_x^2>={1\over 3}<\vec v^2>$ är det naturligt att generalisera
detta resultat till 
$$\vec j^q \approx n{1\over 3}v^2
\tau(\frac{d\varepsilon}{dT})(-\nabla T).$$

\noindent
Vidare är
$${N\over V}(\frac{d\varepsilon}{dT})=c_v$$

\noindent
elektronernas bidrag till det specifika värmet så att

$$\vec j^q \simeq {1\over 3}v^2c_v \tau(-\nabla \tau).$$

\noindent
Här igenom fås ett uttryck för värmeledningsförmågan $\kappa$:

$$\kappa \approx {1\over 3} v^2\tau c_v.$$

\noindent
Förhållandet mellan de termiska och elektriska konduktiviteterna blir 

$$\frac{\kappa}{\sigma}=\frac{{1\over 3}c_v mv^2}{ne^2}$$

\noindent
Ifall elektrongasen är en klassisk gas i termodynamisk jämvikt gäller

$$c_v={3\over 2}nk_B,$$
\hspace{2cm} $$[k_B=1.38 \cdot 10^{-16}erg/K]$$
$${1\over 2}mv^2={3\over 2}k_BT,$$

\noindent
så att

$$\frac{\kappa}{\sigma}={3\over 2}(\frac{k_B}{e})^2 T,$$

\noindent
vilket är oberoende av metallens detaljerade egenskaper.\\

Detta resultat som anger att $\kappa/\sigma$ proportionellt mot
temperaturen, med en universell proportionalitetskonstant,
överensstämmer med den empiriska Wiedemann-Franz-lagen:

$${3\over 2} (\frac{k_B}{e})^2=1 \cdot 11 \cdot 10^{-8} W \Omega/K^2$$

\vspace{1cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{c|c|c} \hline
$\kappa$ & $273 K$ & $373 K$ \\ \hline
Li & 2.22 & 2.43 \\
Na & 2.12 & \\
K & 2.23 & \\
Cu & 2.20 & 2.29 \\
Ag & 2.31 & 2.38 \\
Au & 2.32 & 2.36 \\
Be & 2.36 & 2.42 \\
Fe & 2.61 & 2.88 \\
Al & 2.14 & 2.19 \\
Pb & 2.64 & 2.53 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1cm}

Resultatet är dock baserat på det felaktiga antagandet:

$$c_v={3\over 2} nk_B,$$

\noindent
ty empiriskt är det elektroniska bidraget till det specifika värmet
vid rumstemperatur mycket litet.\\

Orsaken till att felet i Drude-teorins förklaring av
Wiedemann-Franz-lagen upptäcktes sent, var att felet i uppskattningen
av det specifika värmet till mycket stor del kompenseras av ett
motsvarande fel i uppskattningen

$${1\over 2} mv^2 \approx {3\over 2} k_B T,$$

\noindent
vilket inte gäller för en elektrongas.\\

Flödet av elektroner i den fallande temperaturgradientens riktning
beskriver en termoelektrisk effekt. Då elektronerna är negativt
laddade bör det existera ett elektriskt fält som är riktat mot
temperaturgradienten. Detta kan uttryckas  som 

$$\vec E =Q \nabla T,$$

\noindent
där $Q$ är en negativ koefficient som kallas den termiska effekten.
Denna kan uppskattas på följande sätt. Den genomsnittliga
elektronhastigheten vid $x$ som uppstår av temperaturgradienten är 

$$v_Q={1\over 2}[v(x-v \tau)-v(x+v \tau)]$$
$$\simeq - \tau v \cdot \frac{dv}{dx}=-\tau
\frac{d}{dx}(\frac{v^2}{2}).$$

\noindent
Om $v^2 \rightarrow v_x^2 \Rightarrow {1\over 3} <\vec v^2>$, fås
$\vec v_Q=-\frac{\tau}{6} \frac{d\vec v^2}{dT} (\vec \nabla T)$.\\

\noindent
Den genomsnittliga "drifthastigheten", som uppstår pga det elektriska
fältet, är 

$$\vec v_E=-\frac{e \vec E \tau}{m}.$$

\noindent
Villkoret för elektrisk neutralitet är 

$$\vec v_Q+\vec v_E=0,$$

\noindent
så att 
$$Q=-\frac{1}{3e} \frac{d}{dT}(\underbrace{\frac{mv^2}{2}}_{{3\over
2}k_B T})$$

$$=-\frac{k_B}{2e}=-0.43 \cdot 10^{-4}V/K.$$

\noindent
Empiriska resultat för $Q$ för metaller ger ca. $100 ggr$ mindre
vädren för $Q$. Detta visar att Drude-teorin bygger på en orealistisk
(klassisk) behandling av elektrongasen.\\

{\bf 1.3. Sommerfelds elektronteori}\\
\vspace{0.5cm}

Drudes elektrongasteori baserades på antagandet att elektrongasen kan
beskrivas som en klassisk idealgas, för vilken de olika
energitillstånden ockuperas i enlighet med Boltzmanndistributionen

$$\rho(E)=Ce^{-E_k/k_BT}.$$

\noindent
Under antagandet att elektronernas potentialenergi är liten i
jämförelse med deras kinetiska energi är hastighetsdistributionen
Maxwell distributionen

$$f_B(\vec v)=n(\frac{m}{2\pi  k_BT})^{3/2}e^{-mv^2/2k_BT}$$

\noindent
Vid normala temperaturer $(T<1000K)$ är detta antagande helt
felaktigt. Elektrongasen måste beskrivas som en termodynamiskt sett
kall Fermi-Dirac (ideal)gas, för vilken energitillståndens
ockupationsannolikhet är

$$\rho(E)=\frac{c}{e^{(E-\mu)k_BT}+1}$$

\noindent
Motsvarande hastighetsfördelning är

$$f(\vec v)={1\over 4}(\frac{m}{\pi \hbar})^3 \frac{1}{e^{({1\over
2}mv^2-k_B T_0)/k_B T}+1}.$$

\noindent
Här är $T_0$ den s.k. Fermi-temperaturen, och $k_B T_0=E_F$ den s.k.
Fermi-energin. Denna bestäms av normaliseringsvillkoret

$$n=\int d^3v f(\vec v)$$

\noindent
För elektrontätheterna i metaller är $T_0$ av storleksordningen
$10^4K$.

\vspace{4cm}

\noindent
Fermi-Dirac distributionen närmar sig Boltzmanndistributionens form
vid temperaturer som är större än Fermi-temperaturen $T_0$.\\

I degenererade fermisystem är alla tillstånd vars energi är mindre än
fermienergin $\epsilon_F$, som motsvarar fermi-temperaturen $T_0$, upptagna av
två elektroner, medan inga elektroner finns i högre energitillstånd.
Fermienergin kan beräknas på följande sätt från partikeltätheten.\\

Om fermigasen rör sig utan växelverkningar i en kubisk volym $V=L^3$
är elektronernas vågfunktioner 

\hspace{4cm} $$\psi=e^{i\vec k \cdot \vec r}$$
\hspace{4cm} $$e^{ik_x x} e^{ik_y y} e^{ik_z z}$$

\noindent
Inneslutningsvillkoret kan antingen införas i formen att
vågfunktionerna $\psi$ är $0$ på den begränsande ytan, men mer bekvämt
med hjälp av periodiska randvillkor:

$$\psi(x)=\psi(x+L),$$

\noindent
Detta innebär att 
$$e^{ik_x x}=e^{ik_x(x+L)},$$

\noindent
varar följer att
$$k_xL=n_x 2\pi,\quad n_x=heltal$$

De tillåtna värdena för $k_x$ är då $2{\pi \over L},\;2 \cdot 2{\pi
\over L}\;3 \cdot 2 {\pi \over L}$, ... Detta innebär att "tätheten"
av tillstånd på $k_x$-axeln är $(\frac{2\pi}{L})^{-1}$.
Tillståndstätheten i den 3-dimensionella $\vec K$-rymden blir då

$$(\frac{2\pi}{L}^{-3}=\frac{V}{8\pi^3}.$$
Då $\vec p=\hbar \vec k$, $\hbar=h/2\pi$ blir tillståndstätheten i
impulsrymden

$$(\frac{8\pi^3 \hbar^3}{V})^{-1}=(\frac{h^3}{V})^{-1}.$$
Denna bör multipliceras med 2 då det finns elektroner per $\vec
k$-värde.\\

En summering över kvanttillstånden kan därför utföras på följande
sätt:

$$\sum_{\vec n}=\sum_{\vec k}=2\frac{V}{(2\pi \hbar)^3} \int d^3p$$
$$=2\int \frac{d^3pd^3r}{h^3}$$
Då $\sum_{\vec k}=N$, och

$$\frac{p^2}{2m}=\epsilon \rightarrow pdp=md \epsilon$$
fås

$$N=2\frac{V}{(2\pi \hbar)^3} \int dpp^2d\Omega_p=\frac{V}{\pi^2
\hbar^3} \underbrace{\int_{0}^{\epsilon_F}md\epsilon
\sqrt{2m\epsilon}}_{m\sqrt{2m}{2\over 3}\epsilon_F^{3/2}}$$
Härav följer 

$$n={N\over V}=\frac{(2m)^{3/2}}{3\pi^2 h^3}\epsilon_F^{3/2}.$$
Fermienergin som funktion av tätheten blir

$$\epsilon_F=\frac{\hbar^2}{2m}(3\pi^2)^{2/3} n^{2/3}.$$
Detta kan också uttryckas med hjälp av fermi impulsen $k_F$:

$$\epsilon_F=\frac{\hbar^2 k_F^2}{2m},$$
$$n=\frac{k_F^3}{3\pi^2}$$
Eftersom valenselektrontätheten i metaller är av storleksrordningen
$1Å^{-3}$ blir $k_F$ av storleksordningen $1Å^{-1}$.

$$\epsilon_F=\frac{\hbar^2c^2}{2mc^2}k_F^2,\qquad \hbar c=197.33 MeV
fm$$

$$\sim\frac{2^2 \cdot 10^6 eV^2 Å^2}{2 \cdot 0.5 \cdot 10^6 eV}
\frac{1}{Å^2} \qquad \sim 4 eV $$
Ett alternativt sätt att uttrycka $\epsilon_F$ är

$$\epsilon_F=\frac{\hbar^2k_F^2}{2m}=(\frac{e^2}{2a_0})(k_F\;a_0)^2=13.6
eV,$$
med $Ry\equiv \frac{e^2}{2a_0}=13.6 eV$, vilket är elektronens
bindningsenergi i väteatomen.\\

Att elektrongasen i metaller är termodynamiskt kall framgår av att
fermitemperaturen är av storleksordningen $10^4K$, och således mycket
större än rumstemperatur:

$$T_0=\frac{\epsilon_F}{k_B} \sim \frac{4eV}{0.86 \cdot 10^{-4} eV/K}
\sim 5 \cdot 10^4K$$

\vspace{1cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{cccc}
 & $\epsilon_F(eV)$ & $T_0(10^4 K)$ & $k_F(10^8cm^{-1})$ \\
Li & 4.74 & 5.51 & 1.12 \\
Na & 3.24 & 3.77 & 0.92 \\
K & 4.86 & 2.46 & 0.75 \\
Cu & 7.00 & 8.16 & 1.36 \\
Ag & 5.49 & 6.38 & 1.20 \\
Au & 5.53 & 6.42 & 1.21 \\

\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1cm}

Elektrongasens totala (inre) energi är

$$E=2 \sum_{k<k_F} \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$
$$=2\frac{V}{(2\pi)^3} \int d^3k \frac{\hbar^2k^2}{2m}$$
$$=\frac{V}{2m \pi^2}\hbar^2 \; \frac{k_F^5}{5}$$
$$N=\frac{Vk_F^3}{3\pi^2};$$
$${E\over N}=\frac{3 \hbar^2k_F^2}{10m}={3\over
5}\varepsilon_F=\frac{3\hbar^2}{10m} (3\pi^2 n)^{2/3}$$

Tillståndsekvationen för en kall elektrongas beräknas enligt

$$P=-(\frac{\partial E}{\partial V})_N \qquad ; n={N\over V},$$
$$P=-{2\over 3}{E\over V} = {1\over 5}
\frac{\hbar^2}{m}(3\pi^2)^{2/3}n^{5/3}$$

\noindent
Elektrongasens kompressibilitet definieras som

$$K={1\over B}=-{1 \over V} (\frac{\partial V}{\partial P})$$

\noindent
där $B$ är bulkmodulen

$$B=-V(\frac{\partial P}{\partial V})={5 \over 3}P={10 \over 9}{E
\over V}={2 \over 3} n \epsilon_F$$

\noindent
Trots att elektrongasens bidrag till kompressibiliteten bara är en del
av en metalls totala kompressibilitet ger elektrongasmodellen en
uppskattning, som har rätt storleksordning.\\

\vspace{1cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{|c|c|c|} \hline
 & Bel.gas & $B_{exp}$ \\ \hline
Li & 23.9 & 11.5 \\
Na & 9.23 & 6.42 \\
K & 3.19 & 2.81 \\
Cu & 63.8 & 134.3 \\
Ag & 34.5 & 99.9 \\
Au & 228 & 76.0 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\hspace{5cm} $[B]=10^{10}dyn/cm^2$

\vspace{1.5cm}

{\bf Elektrongasens termodynamiska egenskaper}\\

\vspace{0.5cm}
Fermi-Dirac-distributionen för sannolikheten att en energinivå är
upptagen är 

$$f(\epsilon)=\frac{2}{e^{(\epsilon-\mu)k_B T}+1}$$
I denna formel är $\mu$ en parameter som kallas den kemiska
potentialen. Vid $T=0$ är $\mu=\epsilon_F$.\\

Elektrongasens inre energi är

$$U=\sum_{k}\epsilon_K f(\epsilon_k)=2 \int\frac{d^3 k}{(2\pi)^3}V
\frac{\epsilon(\vec k)}{e^{(\epsilon(k)-\mu)/k_B T}+1}.$$

$$\epsilon=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$$
Det totala elektronantalet är

$$N=2\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}V\frac{1}{e^{(\epsilon(k)-\mu)/k_B
T}+1}.$$
Om denna ekvation löses för "fugaciteten" $z=e^{\mu/k_B T}$, och denna
insättes i uttrycket för $U$ fås $U$ som en function av $N,V$ och $T$,
vilket gör det möjligt att konstruera alla de termodynamiska
potentialerna och att bestämma de termodynamiska responsfunktionerna
som specifika värmen etc.\\

Integralerna över $\vec k$ kan ersättas med integraler över $\epsilon$,
då

$$\epsilon=\frac{\hbar^2 k^2}{2m};\quad d\epsilon=\frac{\hbar^2k}{m}
dk;$$
$$2\int \frac{d^3k}{(2\pi)^3}f(\epsilon)=\frac{2}{(2\pi)^3} \cdot 4\pi
\int dkk^2 f(\epsilon)$$
$$={1\over \pi^2} \int \frac{\sqrt{2m\epsilon}}{\hbar} {m \over
\hbar^2}d\epsilon f(\epsilon)$$
$$=\int_{-\infty}^{\infty} d\epsilon g(\epsilon)f(\epsilon).$$
Här är $g(\epsilon)$ energinivåtätheten, vars uttryck är 

$$g(\epsilon)=\frac{m}{\hbar^2\pi^2} \sqrt{\frac{2m\epsilon}{\hbar^2}}
\theta(\epsilon).$$
Här representerar $\theta(\epsilon)$ stegfunktionen

$$\theta(\epsilon)=\left\{ \begin{array}{cc}
+1 & \epsilon > 0 \\
0 & \epsilon < 0. \\
\end{array} \right. $$
Ett bekvämt uttryck för $g(\epsilon)$ är 

$$g(\epsilon)={3\over 2} {n\over \epsilon_F}
(\frac{\epsilon}{\epsilon_F})^{1/2} \theta(\epsilon)$$
Tillståndstätheten vid Fermi-energin blir då

$$g(\epsilon_F)={3\over 2} {n \over \epsilon_F}.$$
Den inre energin per volymenhet är 

$$u={U\over V}=\int_{-\infty}^{\infty}
d\varepsilon g(\varepsilon)\varepsilon f(\varepsilon),$$
och partikeltätheten är
$$n={N \over V}=\int_{-\infty}^{\infty} d\varepsilon
g(\varepsilon)f(\varepsilon),$$
med
$$f(\varepsilon)=\frac{2}{e^{(\varepsilon-\mu)/k_BT}+1}.$$
För temperaturer, som är små i jämförelse med fermitemperaturen $(\sim
10^4 K)$, är Fermi-Dirac -distributionen $f(\varepsilon)$ mycket lik en
stegfunktion:

\vspace{4cm}

Området kring $\mu$ där distributionen avviker från en stegfunktion har
bredden $\sim k_BT$.\\

Integraler av typen 

$$I=\int_{-\infty}^{\infty} d\varepsilon
H(\varepsilon)f(\varepsilon)$$
kan beräknas med hjälp av den s.k. Sommerfeld-utvecklingen.\\

Låt
$$K(\varepsilon) \equiv \int_{-\infty}^{\varepsilon} d\epsilon'
H(\varepsilon');$$
$$H(\varepsilon)=\frac{dK(\varepsilon)}{d\varepsilon};$$
Då är
$$\int_{-\infty}^{\infty} d\varepsilon
H(\varepsilon)f(\varepsilon)=\int_{-\infty}^{\infty} d\varepsilon
\frac{dK(\varepsilon)}{d \epsilon}f(\varepsilon)$$
$$=|_{-\infty}^{\infty}
K(\varepsilon)f(\varepsilon)-\int_{-\infty}^{\infty} d\varepsilon
K(\varepsilon)f'(\varepsilon)$$
Ifall $H(-\infty)=0$, och $H(\varepsilon)$ inte växer snabbare än
$\varepsilon^N$, $N< \infty$ då $\varepsilon$ är stort blir
substitutionstermen $0$.\\

Funktionen $f'(\varepsilon)$ avviker från $0$ blott i ett snävt område
kring $\mu$ vars bredd är $k_BT$. Detta gör det naturligt at uttnyttja
en Taylorserie-utveckling för $K(\varepsilon)$ kring $\mu$:

$$K(\varepsilon)=K(\mu)+\sum_{n=1}^{\infty}
\frac{(\varepsilon-\mu)^n}{n!}(\frac{d^nK(\varepsilon)}{d\varepsilon^n})_\mu.$$
$$I=-\int_{-\infty}^{\infty} d\varepsilon
f'(\varepsilon)K(\varepsilon)$$
$$=-K(\mu)\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}d\varepsilon
f'}_{\underbrace{|_{-\infty}^{\infty} f(\varepsilon)}_{-1}}
(\varepsilon)- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!}
(\frac{d^nK(\varepsilon)}{d\varepsilon^n})_\mu \int_{-\infty}^{\infty}
d\varepsilon f'(\varepsilon)(\epsilon-\mu)^n$$
I serieutvecklingen uppträder enbart jämna potenser av
$(\varepsilon-\mu)$:

$$I=\int_{-\infty}^{\mu}d\varepsilon H(\varepsilon)-
\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{d^{2n-1}}{d\varepsilon^{2n-1}}H(\varepsilon))_\mu\frac{1}{(2n)!}
\int_{-\infty}^{\infty}d\varepsilon(\varepsilon-\mu)^{2n}f'(\varepsilon)$$
Definiera

$$x \equiv \frac{\epsilon-\mu}{k_BT};\;
dx=\frac{1}{k_BT}d\varepsilon$$
$$I=\int_{-\infty}^{\mu} d\varepsilon
H(\varepsilon)+\sum_{n=1}^{\infty}
a_n(k_BT)^{2n}(\frac{d^{2n-1}}{d\varepsilon^{2n-1}}H(\varepsilon))_\mu$$
Här har $a_n$ definierats som 

$$a_n=-\int_{-\infty}^{\infty}dx \frac{x^{2n}}{(2n)!} {d \over dx}
(\frac{1}{e^x+1})$$

Koefficienterna $a_n$ kan uttryckas som serier:

$$a_n=2(1-\frac{1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}-\frac{1}{4^{4n}}+
\frac{1}{5^{5n}}-...)$$

Dessa kan uttryckas i kompakt form med hjälp av Riemanns $\zeta$-funktion:

$$\zeta(n)\equiv 1+{1\over 2^n}+{1\over 3^n}+{1\over 4^n}+...$$
så att
$$a_n=(2-\frac{1}{2^{2(n-1)}})\zeta(2n).$$
För $\zeta(2n)$ gäller
$$\zeta(2n)=2^{2n-1}\frac{\pi^{2n}}{(2n)!}B_n,$$
där $B_n$ är Bernoullis tal:

$$B_1={1\over 6},\;B_2={1\over 30},\; B_3={1\over 42},\; B_4={1\over
30},\; B_5={1\over 66}.$$
Notera att
$$\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6},\quad \zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}.$$
De explicita uttrycken för de lägsta termerna i Sommerfeldutvecklingen
är 
$$\int_{-\infty}^{\infty} d\varepsilon
H(\varepsilon)f(\varepsilon)=\int_{-\infty}^{\mu} d\varepsilon
H(\varepsilon)$$
$$+\frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2H'(\mu)+\frac{7\pi^4}{360}(k_BT)^4
H'''(\mu)+O(T^6).$$

För den inre energin fås på detta sätt serieutvecklingen 

$$u=\int_{-\infty}^{\infty} d\varepsilon \varepsilon
g(\varepsilon)f(\varepsilon)$$
$$=\int_{-\infty}^{\mu} d\varepsilon \varepsilon
g(\varepsilon)+\frac{\pi^2}{6} (k_BT)^2[g(\mu)+\mu g'(\mu)]+O(T^4)$$

För partikeltätheten gäller

$$n=\int_{-\infty}^{\mu}d \varepsilon
g(\varepsilon)+\frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2 g'(\mu)+O(T^4)$$
$$g(\varepsilon)={3\over 2} \frac{n}{\epsilon_F}
(\frac{\epsilon}{\epsilon_F})^{1/2} \theta(\epsilon)$$
$$\rightarrow g'(\mu)={1\over 2} \frac{g(\mu)}{\mu}$$
$$\int_{-\infty}^{\mu} d \varepsilon g(\varepsilon)=\int_{0}^{\mu}d
\varepsilon g(\varepsilon)={2 \over 3}  g(\mu)\mu$$
Thus
$$n={2\over 3}g(\mu)\mu+\frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2 {1\over
2}\frac{g(\mu)}{\mu}$$
$$=\frac{n}{\epsilon_F^{3/2}} \mu^{3/2}+\frac{n
\pi^2}{8}(k_BT)^2 \frac{1}{\mu^{1/2}\epsilon_F^{3/2}}$$
$$1=\frac{\mu^{3/2}}{\epsilon_F^{3/2}}+\frac{\pi^2}{8}
(k_BT)^2 \frac{1}{\mu^{1/2}\epsilon_F^{3/2}}$$

Denna ekvation kan lösas med serieutvecklingsansatsen:

$$\mu=\epsilon_F+\delta T^2+O(T^4);$$
$$\mu^{3/2}=[\epsilon_F+\delta
T^2]^{3/2}=\epsilon_F^{3/2}[1+\frac{\delta}{\epsilon_F}T^2]^{3/2}$$
$$\simeq \epsilon_F^{3/2}[1+{3\over 2} \frac{\delta}{\epsilon_F}T^2]$$
$$\mu^{-1/2} \simeq \epsilon_F^{-1/2}[1-{1\over 2}
\frac{\delta}{\epsilon_F}T^2]$$
$$1 \cong 1+{3\over 2} {\delta \over
\epsilon_F}T^2+\frac{\pi^2}{8}(k_BT)^2 \frac{1}{\epsilon_F^2}$$
$$\rightarrow 3\delta T^2=-\frac{\pi^2}{4} k_B^2 \frac{1}{\epsilon_F}
T^2;$$
$$\delta=-\frac{\pi^2}{12} k_B^2 \frac{1}{\epsilon_F};$$
Den kemiska potentialens temperatur beroende blir (till andra
ordningen i $T$):

$$\mu=\epsilon_F\{1-{1\over 3} (\frac{\pi k_BT}{2 \epsilon_F})^2\}.$$
Detta uttryck kan uttnyttjas för att härleda en explicit formel för
den inre energin:

$$u={2\over
5}g(\mu)\mu^2+\frac{\pi^2}{6}(k_BT)^2[\underbrace{g(\mu)+{1\over
2}g(\mu)}_{{3\over 2} g(\mu)}]+O(T^4)$$
$$g(\mu)\{{2\over 5} \mu^2+\frac{\pi^2}{4}(k_BT)^2\}$$
$$g(\mu)={3\over 2} \frac{n}{\epsilon_F^{3/2}} \mu^{1/2} \simeq
{3\over 2}\frac{n}{\epsilon_F^{3/2}} \epsilon_F^{1/2}\{1-{1\over
6}(\frac{\pi k_BT}{2 \epsilon_F})^2\}$$
$$={3\over 2} {n\over \epsilon_F} [1-{1\over 6}(\frac{\pi k_BT}{2
\epsilon_F})^2] $$
$$u\simeq {3\over 2} {n \over \epsilon_F}[1-{1\over 6}(\frac{\pi
k_BT}{2 \epsilon_F})^2]\{{2\over 5}\epsilon_F^2(1-{2\over 3}(\frac{\pi
k_BT}{2\epsilon_F})^2)$$
$$\frac{\pi^2}{4}(k_BT)^2\}$$
$$u={3\over 2} \frac{n}{\epsilon_F}[1-{1\over 6}(\frac{\pi k_BT}{2
\epsilon_F})^2]\{\underbrace{{2\over 5} \epsilon_F^2+{11\over 60}
\pi^2 k_B^2 T^2}_{{2\over 5} \epsilon_F^2\{1+{11\over 24} \frac{\pi^2
k_B^2 T^2}{\epsilon_F^2}\}}\}$$
$$={3\over 5} n\epsilon_F\{1+{5\over 3} (\frac{\pi
k_BT}{2\epsilon_F})^2\}$$
$$=u_0+n\epsilon_F(\frac{\pi k_BT}{2\epsilon_F})^2$$
$$u=u_0+\frac{\pi^2}{6} (k_BT)^2g(\epsilon_F)$$

Detta uttryck kan direkt användas för att beräkna elektrongasens
specifika värme:

$$c_v=\frac{\partial u}{\partial T}=\frac{\pi^2}{3} k_B^2 T
g(\epsilon_F)$$
$$=\frac{\pi^2}{2}(\frac{k_BT}{\epsilon_F})nk_B$$

Elektrongasens bidrag till det specifika värmet är mycket obetydligt
vid rumstemperatur ($\sim 10^{-2}$). Då jonernas bidrag vid låga
temperatur är proportionellt mot $T^3$, medan elektrongasens är
proportionellt mot $T$, kommer elektrongasens bidrag dock att vara det
dominerande vid mycket låga temperaturer:

$$c_v=\gamma T+AT^3;$$
$$\frac{c_v}{T}=\gamma+AT^2, \quad \gamma(10^{-4} cal/mol\;K^2)$$

\vspace{1cm}

\begin{center}

\begin{tabular}{ccc} \hline
 & $\gamma_{el.gas}$ & $\gamma_{EXP}$ \\ \hline
Li & 1.8 & 4.2 \\
Na & 2.6 & 3.5 \\
K & 4.0 & 4.7 \\
Cu & 1.2 & 1.6 \\
Ag & 1.5 & 1.6 \\
Au & 1.5 & 1.6 \\
Fe & 1.5 & 1.6 \\
Pb & 3.6 & 7.0 \\
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{1cm}

Det empiriska värdet för $c_v$ anges i allmänhet i $cal/mol\;K$. Detta
fås gemon att multiplicera $c_v$ med antalet valenselektroner $(Z)$
gånger $N_a/n$:

$$C=\frac{\pi^2}{3} ZR \; \frac{k_BT g(\epsilon_F)}{n},$$
$$R=k_B N_A=8.314 J/mol\;K=1.99 cal/mol\;K.$$

\vspace{1.5cm}

{\bf Elektrongasens transportkoefficienter}\\
\vspace{0.5cm}

Elektrongasens transportkoefficienter kan beräknas på samma sätt som i
den klassiska Drudeteorin förutsatt att de termodynamiska storheterna
beräknas med hjälp av Fermi-Dirac fördelningen u stället för
Boltzmann-fördelningen.\\

Den genomsnittliga fria vägen- dvs det avstånd en elektron i
genomsnitt tillryggalägger mellan kollisionerna är 

$$l \sim v_F \tau,$$
där $\tau$ är relaxationstiden. Fermihastigheten
$v_F=\hbar K/m$ är mycket större än Drude-teorins uppskattning av den
genomsnittliga hastigheten. Relaxationstiden är
$$\tau =\frac{m}{\rho ne^2}.$$

Vid rumstemperatur är $l$ av storleksordningen $10-100 Å$.\\

Värmeledningskoefficienten är

$$K={1\over 3} v^2\tau c_v.$$
I Drudeteorin uppskattas $<v^2>$ med hjälp av
Maxwell-Boltzmann-distributionen som ${1\over 2} mv^2 \sim {3\over 2}
k_BT$, och $c_v$ som ${3\over 2}nk_B$. Bägge uppskattningarna är
mycket missvisanden men felen kompenserar i hög grad varandra.\\

För den kalla kvantmekaniska elektrogasen gäller 

$$v \sim v_F$$
och
$$c_v \sim \frac{\pi^2}{2}(\frac{k_BT}{\epsilon_F})nk_B,$$
så att
$$\frac{\kappa}{\sigma T}=\frac{\pi^2}{3}(\frac{k_B}{e})^2=2.44.10^{-8}
W \Omega/k^2.$$
Den kvantmekaniska uppskattningen ligger närmare de empiriska värdena
för metaller.\\

Det allmänna uttrycket för den termiska effekten (Seebeck-effekten) är

$$Q=-\frac{c_v}{3ne}.$$
Det kvantmekaniska uttrycket för detta blir

$$Q=-\frac{\pi^2}{6}\frac{k_B}{e}(\frac{k_BT}{\epsilon_F}) \simeq
-1.42(\frac{k_BT}{\epsilon_F}) \cdot 10^{-4} {V\over K}.$$
Motsvarande klassiska uttryck är

$$Q=-\frac{k_B}{2e}=-0.43 \cdot 10^{-4} V/K,$$
vilket vid rumstemperatur är ca. $100 ggr$ för stort.

\end{document}
