Riemannin geometria, kevät 2007

[Laskuharjoitustehtävät, malliratkaisut]

Luennoija

Dos. Ilkka Holopainen

Luentoajat

Viikot 3-9 ja 11-18 ma 14-16, to 10-12 C124.

Pääsiäisloma 5.-11.4.

Luennot alkavat maanantaina 15.1.2007.

Laskuharjoitukset pe 12-14 C124.

Laajuus

10 op, 5 ov

Suoritustapa

Kurssi suoritetaan loppukokeella. Laskuharjoituksista saa lisäpisteitä.

Kurssikuvaus

"Riemannin geometria" soveltuu valinnaiseksi erikoiskurssiksi matematiikan laudatur-oppimäärään Matemaatikon suuntautumisvaihtoehdossa.
Kurssilla tutustutaan Riemannin geometrian peruskäsitteisiin.

Mitä ovat differentiaaligeometria ja Riemannin geometria?
Karkeasti ottaen klassinen differentiaaligeometria käyttää differentiaalilaskentaa käyrien ja pintojen tutkimiseen tasossa tai (3-ulotteisessa) eukliidisessa avaruudessa, kun taas modernimmassa differentiaaligeometriassa tämä tutkiminen laajennetaan yleisimpiin avaruuksiin (eli monistoihin) sekä niiden alimonistoihin niin ikään käyttäen differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä. Riemannin geometria on monistojen differentiaaligeometrian tärkein osa. Siinä kuvaan astuu eräänlainen "metriikka", joka mahdollistaa mm. käyrien pituuksien ja alimonistojen pinta-alojen laskemisen ja erilaisten variaatio-ongelmien asettelun ja ratkaisemisen. Voidaan puhua esimerkiksi geodeeseista tai minimaalipinnoista. Kaarevuuden käsitteellä on erittäin tärkeä rooli Riemannin geometriassa, sillä kaarevuustensori pitää sisällään mm. informaatiota Riemannin moniston globaaleista ominaisuuksista ja topologiasta. Tämä kaarevuustensorin lokaalien ominaisuuksien ja Riemannin moniston globaalien ominaisuuksien yhteyden selvittäminen onkin yksi modernin Riemannin geometrian tärkeimmistä ongelmista.

Sisältö

• Differentioituvat monistot (tarvittaessa vain lyhyt kertaus)
• Riemannin metriikat
• Konnektiot
• Geodeesit
• Kaarevuus
• Jacobin kentät
• Kaarevuus ja topologia

Kurssimateriaali

Kurssin materiaali löytyy mm. kirjoista:

• DoCarmo: Riemannian geometry, Birkhäuser, 1992
• Lee: Riemannian manifolds, An Introduction to Curvature, Springer, 1997

sekä luentomuistiinpanoista:

• Holopainen: Differential Geometry (1999, 2001)

Muuta kirjallisuutta ja materiaalia

• Abraham-Marsden-Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications, Springer, 1988.
• Berger-Gostiaux: Differential geometry: manifolds, curves, and surfaces, Springer, 1988
• Bishop-Crittenden: Geometry of manifolds, Academic Press, 1964
• Boothby: An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press, 1975.
• Chavel: Riemannian geometry: a modern introduction, Cambridge Univ. Press, 1993
• Cheeger-Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry, 1975
• DoCarmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, 1976
• DoCarmo: Differential forms and applications, Springer, 1994
• Gallot-Hulin: Riemannian geometry, Springer
• Hicks: Notes in differential geometry, 1965
• Holopainen: Johdatus differentiaaligeometriaan, 2004
• Kobayashi-Nomizu: Foundations of differential geometry, Vol. I
• Lee: Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003
• Madsen-Tornehave: From calculus to cohomology, Cambridge University Press, 1997
• Petersen: Riemannian geometry, Springer, 1998
• Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry, Vol. I,II,IV
• Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups

Esitiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta II (Vektorianalyysi), Topologia I, Lineaarialgebra I, Johdatus differentiaaligeometriaan (tai vastaavat tiedot).
Topologia II:n, Lineaarialgebra II:n ja Differentiaaliyhtälöiden tuntemus on hyödyksi, muttei välttämätöntä.

---

ilkka.holopainen@helsinki.fi