|
Riemannin geometria, kevät 2007
[Laskuharjoitustehtävät, malliratkaisut]
Luennoija
Dos. Ilkka Holopainen
Luentoajat
Viikot 3-9 ja 11-18 ma 14-16, to 10-12 C124.
Pääsiäisloma 5.-11.4.
Luennot alkavat maanantaina 15.1.2007.
Laskuharjoitukset pe 12-14 C124.
Laajuus
10 op, 5 ov
Suoritustapa
Kurssi suoritetaan loppukokeella.
Laskuharjoituksista saa lisäpisteitä.
Kurssikuvaus
"Riemannin geometria" soveltuu valinnaiseksi
erikoiskurssiksi
matematiikan laudatur-oppimäärään Matemaatikon suuntautumisvaihtoehdossa.
Kurssilla tutustutaan Riemannin geometrian peruskäsitteisiin.
Mitä ovat differentiaaligeometria ja Riemannin geometria?
Karkeasti ottaen klassinen differentiaaligeometria käyttää differentiaalilaskentaa
käyrien ja pintojen tutkimiseen tasossa tai (3-ulotteisessa) eukliidisessa avaruudessa,
kun taas modernimmassa differentiaaligeometriassa tämä tutkiminen laajennetaan yleisimpiin
avaruuksiin (eli monistoihin) sekä niiden alimonistoihin niin ikään
käyttäen differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä.
Riemannin geometria on monistojen differentiaaligeometrian tärkein osa.
Siinä kuvaan astuu eräänlainen "metriikka", joka mahdollistaa mm. käyrien
pituuksien ja alimonistojen pinta-alojen laskemisen ja erilaisten variaatio-ongelmien
asettelun ja ratkaisemisen. Voidaan puhua esimerkiksi geodeeseista tai minimaalipinnoista.
Kaarevuuden käsitteellä on erittäin tärkeä rooli Riemannin geometriassa,
sillä kaarevuustensori pitää sisällään mm. informaatiota
Riemannin moniston globaaleista ominaisuuksista ja topologiasta. Tämä
kaarevuustensorin lokaalien ominaisuuksien ja Riemannin moniston globaalien ominaisuuksien
yhteyden selvittäminen onkin yksi modernin Riemannin geometrian tärkeimmistä ongelmista.
Sisältö
- Differentioituvat monistot (tarvittaessa vain lyhyt kertaus)
- Riemannin metriikat
- Konnektiot
- Geodeesit
- Kaarevuus
- Jacobin kentät
- Kaarevuus ja topologia
Kurssimateriaali
Kurssin materiaali löytyy mm. kirjoista:
- DoCarmo: Riemannian geometry, Birkhäuser, 1992
- Lee: Riemannian manifolds, An Introduction to Curvature, Springer, 1997
sekä luentomuistiinpanoista:
- Holopainen: Differential Geometry (1999, 2001)
Muuta kirjallisuutta ja materiaalia
- Abraham-Marsden-Ratiu: Manifolds, tensor analysis, and applications, Springer, 1988.
- Berger-Gostiaux: Differential geometry: manifolds, curves, and surfaces, Springer, 1988
- Bishop-Crittenden: Geometry of manifolds, Academic Press, 1964
- Boothby: An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry, Academic Press, 1975.
- Chavel: Riemannian geometry: a modern introduction, Cambridge Univ. Press, 1993
- Cheeger-Ebin: Comparison theorems in Riemannian geometry, 1975
- DoCarmo: Differential geometry of curves and surfaces, Prentice Hall, 1976
- DoCarmo: Differential forms and applications, Springer, 1994
- Gallot-Hulin: Riemannian geometry, Springer
- Hicks: Notes in differential geometry, 1965
- Holopainen: Johdatus differentiaaligeometriaan,
2004
- Kobayashi-Nomizu: Foundations of differential geometry, Vol. I
- Lee: Introduction to smooth manifolds, Springer, 2003
- Madsen-Tornehave: From calculus to cohomology,
Cambridge University Press, 1997
- Petersen: Riemannian geometry, Springer, 1998
- Spivak: A comprehensive introduction to differential geometry, Vol. I,II,IV
- Warner: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups
Esitiedot
Differentiaali- ja integraalilaskenta II (Vektorianalyysi), Topologia I, Lineaarialgebra I,
Johdatus differentiaaligeometriaan (tai vastaavat tiedot).
Topologia II:n, Lineaarialgebra II:n ja Differentiaaliyhtälöiden tuntemus on hyödyksi, muttei
välttämätöntä.
ilkka.holopainen@helsinki.fi
|