Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta
Valtiotieteellinen tiedekunta

 

Moderni reaalianalyysi, syksy 2005

[Luentomuistiinpanot: MoRA.ps MoRA.pdf] | | [Laskuharjoitustehtävät, malliratkaisut, luentojen eteneminen]

Luennoija

dos. Ilkka Holopainen

Luentoajat

Viikot 36-42 ja 44-50 ma 14--16, ke 12--14 B322.

Laajuus

10 op, 5 ov

Laskuharjoitukset

RyhmäPäiväAikaPaikkaPitäjä
1.ti12 - 14 C323Aleksi Vähäkangas

Suoritustapa

Kurssi suoritetaan loppukokeella yleistenttien yhteydessä.

Laskuharjoitusten perusteella saa lisäpisteitä seuraavasti:
25% = +1p, 35% = +2p, 45% = +3p, 55% = +4p, 65% = +5p ja 75% = +6p.

Kurssikuvaus

Moderni reaalianalyysi soveltuu valinnaiseksi erikoiskurssiksi matematiikan syventäviin opintoihin (ent. laudatur-oppimäärä).
Kurssilla syvennetään ja laajennetaan peruskursseilla "Mitta ja integraali" ja "Reaalianalyysi I" opittuja tietoja. Erityisesti luentojen teemana on mittateoriaan liittyvät geometriset kysymykset ja niiden sovellukset; kurssi on siis myös johdatus geometriseen mittateoriaan. Aikataulun salliessa kurssilla käsitellään myös yhteyksiä harmoniseen analyysiin.
Esitiedoiksi suositellaan kursseja "Mitta ja integraali" ja "Reaalianalyysi I", tosin aluksi palautamme mieliin mitta- ja integroimisteorian perusteet kertauksenomaisesti.

Alustava sisältö

  • Mitan ja integraalin käsitteitä ja perustuloksia
  • Hausdorff-mitat metrisissä avaruuksissa
  • Mittojen konvergenssi- ja kompaktisuuslauseet R^n:ssä
  • Differentiaatioteoriaa R^n:ssä
  • Fraktaalien Hausdorff-dimensio

Kurssimateriaali

Kurssin taustamateriaali:

Luentomuistiinpanot ilmestyvät aikanaan huoneen C326 hyllyyn. Ne voi myös imuroida täältä ps-muodossa tai pdf-muodossa sitä mukaa kun ne valmistuvat.

Kurssi ei seuraa mitään yksittäistä kirjaa. Sopivaa oheislukemistoa tarjoavat (valikoiduin osin) mm. seuraavat kirjat:

  • Jones: Lebesgue integration on Euclidean spaces (Jones and Bartlett)
  • Falconer: Fractal geometry: Mathematical foundations and applications (Wiley & Sons)
  • Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability (Cambridge University Press)
  • Evans-Gariepy: Measure theory and fine properties of functions (CRC Press)
  • Rudin: Real and complex analysis (McGraw Hill)


ilkka.holopainen@helsinki.fi