Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit, syksy 2007
[Luentomuistiinpanot:
MetAv03.ps
MetAv03.pdf] |
|
[Laskuharjoitustehtävät, malliratkaisut]
Luennoija
dos. Ilkka Holopainen
Luentoajat
Viikot 36-42 ja 44-50 ma 14–16, ke 12–14 C123.
Laajuus
10 op, 5 ov
Laskuharjoitukset
Ilmoitetaan myöhemmin.
Suoritustapa
Kurssin voi suorittaa loppukokeella yleistenttien yhteydessä
tai vaihtoehtoisesti tekemällä kirjallisia
laskuharjoitustehtäviä,
jotka arvostellaan.
Kurssikuvaus
"Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit"
sopii valinnaiseksi erikoiskurssiksi
matematiikan syventäviin opintoihin (ent. laudatur-oppimäärä).
Kurssin tavoitteena on tutustuttaa osallistujat Jeff Cheegerin hiljattain
(v. 1999) kehittämään metristen avaruuksien Lipschitz-funktioiden differentioituvuusteoriaan
(ks. [Ch]). Asiaa opiskellaan Stephen Keithin artikkeleiden [K1] ja [K2] avulla.
Tällainen "analyysi metrisissä avaruuksissa" on tällä hetkellä suosittu tutkimuskohde.
Kurssi materiaali
Luennot seuraavat pääosin luentomuistiinpanoja:
Holopainen: Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit, Syksy 2003,
jotka voi imuroida täältä
ps-muodossa ja
pdf-muodossa.
Sisältö
- Lyhyt katsaus klassisiin Sobolev-avaruuksiin
- Lipschitz-funktiot, Rademacherin lause
- Metristen avaruuksien upotuslauseita
- Metristen avaruuksien konvergenssi
- Metristen avaruuksien differentioituvat struktuurit
Esitiedot
Mitta ja integraali ja Reaalianalyysi I.
Kirjallisuutta
- [Ch] Cheeger:
Differentiability
of Lipschitz Functions on Metric Measure Spaces, Geometric And Functional Analysis 9 (1999), no. 3, 428-517.
- David-Semmes: Fractured fractals and broken dreams, The Clarendon Press Oxford University Press, 1997.
- Evans-Gariepy: Measure theory and fine properties of functions, CRC Press, 1992.
- Heinonen: Lectures on analysis on metric spaces, Springer-Verlag, 2001.
- [K1] Keith: A differentiable structure for metric measure spaces,
Advances in Mathematics, to appear.
- [K2] Keith:Measurable differentiable structures and the
Poincare inequality, Indiana University Mathematics Journal, to appear.
- Mattila: Geometry of sets and measures in Euclidean spaces,
Cambridge University Press, 1995.