Differentiaaligeometria
Luennot: Syyslukukaudella 1999 maanantaisin 14-16 salissa SIII
ja torstaisin klo 14-16 salissa SI,
luennoitsija dos. Ilkka Holopainen. Luennot alkavat maanantaina 13.9.
Suoritustapa: kurssi voidaan suorittaa loppukokeella tai vaihtoehtoisesti tekemällä kirjallisia harjoitustehtäviä.
Laajuus: 5 ov
Kurssikuvaus: Differentiaaligeometria soveltuu valinnaiseksi kurssiksi matematiikan laudatur-oppimäärään. Kurssilla tutustutaan differentiaaligeometrian peruskäsitteisiin pääpainon ollessa Riemannin geometriassa.
Mitä ovat differentiaaligeometria ja Riemannin geometria?
Karkeasti ottaen klassinen differentiaaligeometria käyttää differentiaalilaskentaa
käyrien ja pintojen tutkimiseen tasossa tai (3-ulotteisessa) eukliidisessa avaruudessa,
kun taas modernimmassa differentiaaligeometriassa tämä tutkiminen laajennetaan yleisimpiin
avaruuksiin (eli monistoihin) sekä niiden alimonistoihin niin ikään
käyttäen differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä.
Riemannin geometria on monistojen differentiaaligeometrian tärkein osa.
Siinä kuvaan astuu eräänlainen "metriikka", joka mahdollistaa mm. käyrien
pituuksien ja alimonistojen pinta-alojen laskemisen ja erilaisten variaatio-ongelmien
asettelun ja ratkaisemisen. Voidaan puhua esimerkiksi geodeeseista tai minimaalipinnoista.
Kaarevuuden käsitteellä on erittäin tärkeä rooli Riemannin geometriassa,
sillä kaarevuustensori pitää sisällään mm. informaatiota
Riemannin moniston globaaleista ominaisuuksista ja topologiasta. Tämä
kaarevuustensorin lokaalien ominaisuuksien ja Riemannin moniston globaalien ominaisuuksien
yhteyden selvittäminen onkin yksi modernin Riemannin geometrian tärkeimmistä ongelmista.
Alustava sisältö:
Kirjallisuutta: