Differentiaaligeometria

Luennot: Syyslukukaudella 1999 maanantaisin 14-16 salissa SIII ja torstaisin klo 14-16 salissa SI,
luennoitsija dos. Ilkka Holopainen. Luennot alkavat maanantaina 13.9.

Suoritustapa: kurssi voidaan suorittaa loppukokeella tai vaihtoehtoisesti tekemällä kirjallisia harjoitustehtäviä.

Laajuus: 5 ov

Kurssikuvaus: Differentiaaligeometria soveltuu valinnaiseksi kurssiksi matematiikan laudatur-oppimäärään. Kurssilla tutustutaan differentiaaligeometrian peruskäsitteisiin pääpainon ollessa Riemannin geometriassa.

Mitä ovat differentiaaligeometria ja Riemannin geometria?
Karkeasti ottaen klassinen differentiaaligeometria käyttää differentiaalilaskentaa käyrien ja pintojen tutkimiseen tasossa tai (3-ulotteisessa) eukliidisessa avaruudessa, kun taas modernimmassa differentiaaligeometriassa tämä tutkiminen laajennetaan yleisimpiin avaruuksiin (eli monistoihin) sekä niiden alimonistoihin niin ikään käyttäen differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä. Riemannin geometria on monistojen differentiaaligeometrian tärkein osa. Siinä kuvaan astuu eräänlainen "metriikka", joka mahdollistaa mm. käyrien pituuksien ja alimonistojen pinta-alojen laskemisen ja erilaisten variaatio-ongelmien asettelun ja ratkaisemisen. Voidaan puhua esimerkiksi geodeeseista tai minimaalipinnoista. Kaarevuuden käsitteellä on erittäin tärkeä rooli Riemannin geometriassa, sillä kaarevuustensori pitää sisällään mm. informaatiota Riemannin moniston globaaleista ominaisuuksista ja topologiasta. Tämä kaarevuustensorin lokaalien ominaisuuksien ja Riemannin moniston globaalien ominaisuuksien yhteyden selvittäminen onkin yksi modernin Riemannin geometrian tärkeimmistä ongelmista.

Alustava sisältö:

Kirjallisuutta:


ilkka.holopainen@helsinki.fi