Differentiaaligeometria

Luennot: Syyslukukaudella 2001 tiistaisin klo 12-14 salissa SII ja perjantaisin klo 10-12 salissa SIII.
Luennot alkavat tiistaina 11.9. Lisäksi laskuharjoitukset keskiviikkoisin klo 12-14 salissa SII (26.9 alkaen).
Luennoitsija dos. Ilkka Holopainen. Laskuharjoituksia ohjaa FM Pekka Pankka.

Suoritustapa: Kurssi voidaan suorittaa loppukokeella tai vaihtoehtoisesti tekemällä kirjallisia harjoitustehtäviä, jotka arvostellaan.

Laajuus: 5 ov

Kurssikuvaus: Differentiaaligeometria soveltuu valinnaiseksi kurssiksi matematiikan laudatur-oppimäärään. Kurssilla tutustutaan differentiaaligeometrian peruskäsitteisiin pääpainon ollessa Riemannin geometriassa.

Mitä ovat differentiaaligeometria ja Riemannin geometria?
Karkeasti ottaen klassinen differentiaaligeometria käyttää differentiaalilaskentaa käyrien ja pintojen tutkimiseen tasossa tai (3-ulotteisessa) eukliidisessa avaruudessa, kun taas modernimmassa differentiaaligeometriassa tämä tutkiminen laajennetaan yleisimpiin avaruuksiin (eli monistoihin) sekä niiden alimonistoihin niin ikään käyttäen differentiaali- ja integraalilaskennan menetelmiä. Riemannin geometria on monistojen differentiaaligeometrian tärkein osa. Siinä kuvaan astuu eräänlainen "metriikka", joka mahdollistaa mm. käyrien pituuksien ja alimonistojen pinta-alojen laskemisen ja erilaisten variaatio-ongelmien asettelun ja ratkaisemisen. Voidaan puhua esimerkiksi geodeeseista tai minimaalipinnoista. Kaarevuuden käsitteellä on erittäin tärkeä rooli Riemannin geometriassa, sillä kaarevuustensori pitää sisällään mm. informaatiota Riemannin moniston globaaleista ominaisuuksista ja topologiasta. Tämä kaarevuustensorin lokaalien ominaisuuksien ja Riemannin moniston globaalien ominaisuuksien yhteyden selvittäminen onkin yksi modernin Riemannin geometrian tärkeimmistä ongelmista.

Sisältö:

Kurssin materiaali löytyy mm. kirjoista:

Muuta kirjallisuutta:


ilkka.holopainen@helsinki.fi