SÄHKÖ, MAGNETISMI JA LIIKKUVAT KAPPALEET
Lähes jokainen aikuinen teollistuneessa maailmassa tietää, että Albert Einsteinin teoriat mullistivat käsityksemme ajasta ja avaruudesta. Vähemmän tunnettua on, että Einsteinin erityinen suhteellisuusteoria näki päivänvalon varsin esoteerisen otsikon alla. Se tapahtui vuonna 1905, jolloin tieteellisessä aikakauslehdessä "Annalen der Physik" julkaistiin hänen artikkelinsa nimeltä "Zur Elektrodynamik bewegter Körper", eli "Liikkuvien kappaleiden elektrodynamiikasta". Se alkaa seuraavasti:
"On tunnettua, että kun Maxwellin elektrodynamiikkaa -- kuten se tavallisesti ymmärretään tällä hetkellä -- sovelletaan liikkuviin kappaleisiin, joudutaan epäsymmetrioihin, jotka eivät näytä olevan ilmiöille luontaisia."
Skotlantilainen James Clerk Maxwell oli vuonna 1873 muotoillut valon, sähkön ja magnetismin teorian, jonka ainoa parametri oli valon nopeus c. Maxwellin yhtälöt ennustivat radioaaltojen olemassaolon, jotka sitten Heinrich Hertz havaitsi vuonna 1887. Koska aallot etenivät myös tyhjiössä, kuviteltiin että täytyi olla olemassa erityinen avaruuden täyttävä aines, eetteri, jonka värähtelyä valo ja radioaallot olisivat, aivan kuten ääniaallot ovat ilman värähtelyä. Eetteri määrittäisi samalla absoluuttisen mittatikun -- eli absoluuttisen lepokoordinaatiston -- jonka suhteen liikkuvien kappaleiden nopeus olisi "aitoa" nopeutta.
Mutta eetteri ei sinänsä Einsteinia huolestuttanut. Hän kiinnitti huomionsa siihen, että magneetin ja johtimen vaikutus toisiinsa riippuu vain niiden suhteellisesta liiketilasta vaikka absoluuttisessa koordinaatistossa luulisi merkitystä olevan sillä, onko levossa magneetti vai johdin. Einstein kirjoitti:
"Tämän kaltaiset esimerkit, kun otetaan myös huomioon epäonnistuneet yritykset löytää minkäänlaista liikettä Maan ja 'valon väliaineen' välillä, viittaavat siihen, että sekä elektrodynamiikan että mekaniikan ilmiöillä ei ole minkäänlaisia ominaisuuksia, jotka liittyisivät absoluuttisen levon ideaan."
Tämä ohimenevä viittaus 'valon väliaineeseen' on Einsteinin ainoa eetteriin liittyvä huomautus teoriansa perusteluissa. Kuuluisa Michelsonin-Morleyn eetterikoe vuodelta 1887, joka myöhemmin on nähty suhteellisuusteorian merkittävimpänä edeskäypänä, ei siis motivoinut Einsteinia. Häntä kiinnosti ennemmin Maxwellin yhtälöissä esiintyvä parametri c: missä koordinaatistossa se olisi valon nopeus?
KAIKISSA KOORDINAATISTOISSA, KAIKEN AIKAA
Einsteinin ehdotus oli radikaali. Maxwellin yhtälöt olisivat voimassa kaikissa toistensa suhteen tasaisella nopeudella liikkuvissa koordinaatistoissa -- eli inertiaalikoordinaatistoissa, kuten nimitys kuuluu -- ja valon nopeus olisi siis vakio kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Samalla valon nopeus olisi suurin mahdollinen nopeus, eikä mikään kappale voisi liikkua valoa nopeammin.
Jotkin tämän oletuksen seurauksista ovat liki järjenvastaisia. Oletetaan esimerkiksi, että professori Esko Valtaoja ja URSAn puheenjohtaja Hannu Karttunen ovat päätyneet kiistelemään erään kvasaarin etäisyydestä. Miehet päättävät ratkaista erimielisyytensä mannermaisella kaksintaistelulla, ja aseiksi valitaan sädepyssyt. Kirpeänä syysaamuna he asettuvat seläkkäin ja lähtevät marssimaan erilleen aseet ladattuina. Mutta kumpikin toheloi sen verran että sädepyssyt laukeavat ennen aikojaan. Karttusen aseesta fotoni singahtaa itään, Valtaojan länteen (kyseessä ovat siis äärimmäisen pienikaliiperiset sädepyssyt).
Oiva Opiskelija, joka on pakotettu sekundantiksi, näkee kumpaisenkin fotonin kiitävän horisonttia kohti valon nopeudella. Tällöin hän päättelee seuraavasti: "Karttusen fotonin nopeus suhteessa minuun on c, ja Valtaojan fotonin nopeus suhteessa minuun on myöskin c, mutta se kulkee vastakkaiseen suuntaan. Toisin sanoen, fotonien välinen suhteellinen nopeus on 2c. Valon nopeus on siis ylitetty!"
Riemusta kiljuen Oiva Opiskelija ryntää etsimään puhelinta soittaakseen Turun Sanomiin, mutta Valtaoja ja Karttunen katsovat hänen menoaan päätään pudistellen. He tietävät, että etusivua ei tulla painamaan uusiksi. Oiva Opiskelija nimittäin unohti, mitä "suhteellisuus" Einsteinin suhteellisuusteoriassa tarkoittaa: nopeudesta voidaan puhua ainoastaan suhteessa havaitsijaan. Valtaojan fotoni kulkee nopeudella c suhteessa Oiva Opiskelijaan, ja Karttusen fotoni kulkee nopeudella c suhteessa Oiva Opiskelijaan, mutta tästä ei voi suoraan päätellä vielä mitään kahden fotonin välisestä suhteellisesta nopeudesta. Sen kertovat ns. Lorentz-muunnokset, joiden avulla voidaan siirtyä yhdestä inertiaalikoordinaatistosta toiseen. Niitä käyttämällä nähdään, että vaikka molemmat fotonit liikkuvat Oiva Opiskelijan lepokoordinaatiston suhteen valon nopeudella, myös niiden välinen nopeus on valon nopeus -- kuten Einstein postuloi.
SAMANAIKAISUUDEN SALAT
Einstein ei artikkelissaan kuitenkaan pohdiskellut sädepyssyjen ominaisuuksia vaan siirtyi heti aluksi selvittämään varsin triviaalin oloista kysymystä: mitä tarkoittaa tapahtumien samanaikaisuus? Ajan mittaamiseksi tarvitaan kelloa, ja jos sanomme, että juna saapuu asemalle kello 7, tarkoitamme sillä, että junan saapuminen ja kellonviisarin osoittaminen kohti seitsemää ovat samanaikaisia tapahtumia. Tällaisissa tapauksissa samanaikaisuuden käsitteeseen ei liity vaikeuksia. Mutta entä jos kahden toisistaan hyvin etäällä olevan henkilön pitäisi päättää, mitkä tapahtumat ovat samanaikaisia?
Tämä voi tapahtua vain siten, että henkilöt -- olkoot he Anja ja Filippus -- vertailevat kellojaan. Jos he ovat kauempana kuin huutoetäisyydellä toisistaan, kellojen vertailemiseksi heidän täytyy lähettää toisilleen signaaleita -- esimerkiksi valolla. Tällöin samankaltaisuuden määrittämistä helpottaa tieto, että valosignaalin nopeus on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa.
Jos nyt Anja lähettää signaalin hetkellä nolla, Filippus vastaanottaa sen oman kellonsa mukaan hetkellä t', ja jos Filippus vielä heijastaa signaalin takaisin, Anja saa sen takaisin tietyllä hetkellä t. Kun signaali kulkee molempiin suuntiin samalla nopeudella, Anja pystyy näin synkronisoimaan kellonsa Filippuksen kellon kanssa jos hän tietää, mitä aikaa Filippuksen aika t' vastaa hänen omassa koordinaatistossaan.
Lorentz-muunnokset kertovat yksikäsitteisesti, miten kahden toisiinsa nähden vakionopeudella liikkuvan kellon vertailu voidaan suorittaa. Lorentz-muunnokset sekoittavat kuitenkin ajan ja avaruuden siten, että aika ja paikka riippuvat toisistaan. Tämän johdosta tapahtumat eri inertiaalikoordinaatistoissa voivat näyttää hyvinkin erilaisilta. Voidaan osoittaa, että kausaalisuhde ei kuitenkaan muutu: syy ei missään inertiaalikoordinaatistossa esiinny ennen seurausta.
Oletetaan esimerkiksi, että Anja liikkuu vakionopeudella suhteessa Filippukseen. Kumpikin on levossa oman koordinaatistonsa suhteen, mutta koordinaatistot siis liikkuvat toistensa suhteen. Filippus tarkkailee lepokoordinaatistossaan kärpästä, joka lentää pöydältä ikkunaan; Filippuksen mielestä matkaa on viisi metriä ja siihen kuluu aikaa viisi sekuntia (se on varsin lihava kärpänen). Jos Anja liikkuu Filippuksen suhteen hitaasti, Newtonin mekaniikka on hyvä approksimaatio ja hän näkee saman asian. Mutta jos Anjan nopeus alkaa lähestyä valon nopeutta, aika ja avaruus saavat hänellä uuden merkityksen: sekä kärpäsen kulkema matka että sen matkaan käyttämä aika ovatkin hänen koordinaatistossaan mitattuina aivan jotakin muuta kuin Filippuksen koordinaatistossa.
Matemaattisesti ajasta ja avaruudesta voidaan muodostaa neliulotteinen jatkumo, avaruus-aika. Usein voimme valita liikkeen suunnaksi vaikkapa x-akselin niin, että avaruus-aika voidaan esittää 2-ulotteisena diagrammina, jossa x-akseli vastaa avaruutta ja y-akseli aikaa (kerrottuna valon nopeudella jotta akselien laadut olisivat samat). Filippuksen lepokoordinaatisto on esimerkki tällaisestä avaruus-aika-diagrammista, jonka origossa Filippus aluksi istuu. Kärpäsen lentorata avaruudessa ja ajassa muodostaa tässä diagrammissa käyrän, jota kutsutaan maailmanviivaksi. Filippuksen oma maailmanviiva hänen lepokoordinaatistossaan kulkee pitkin y-akselia: Filippus on paikallaan, mutta aikaa hän ei voi estää kulumasta (kts. kuva 1).
Jos Filippus saa päähänsä lähettää valosignaalin, sekin piirtää kulkiessaan maailmanviivan. Päinvastoin kuin kärpänen, valo kulkee aina suoraan ja avaruus-aika-diagrammissa neljänkymmenenviiden asteen kulmassa. Jos Anja lähtisi matkalle, Filippus voisi esittää myös sen avaruus-aika-diagramminsa käyränä.
Ja Anja lähtee -- kohtalokkain seurauksin.
KAKSOSPARADOKSI, ERÄ 1
Suhteellisuusteorian Lorentz-muunnokset kertovat, että inertiaalikoordinaastossa, joka liikkuu suhteellisella nopeudella v, kellot käyvät hitaammin kuin paikallaan olevassa koordinaatistossa. Ajan kulku riippuu liiketilasta. Esimerkiksi havaitsija, joka liikkuu Maan suhteen nopeudella 240 000 km/s (80% valon nopeudesta, eli 0,8c), näkee kalenterinsa vanhenevan yhden Maan vuoden aikana vain 219 päivää. Tämä ajan hidastuminen on todellista ja koskee siis esimerkiksi ihmisen elimistöä. Lähellä valon nopeutta kulkeva astronautti todellakin vanhenee hitaammin kuin hänen suhteensa levossa oleva kollega. Ilmiö on havaittu myös kokeellisesti mm. lennättämällä tarkkaa atomikelloa lentokoneessa ja vertaamalla sen näyttöä Maassa olevaan kelloon.
Mutta tietenkään ei ole olemassa mitään absoluuttista lepokoordinaatistoa. Juuri tälle periaatteelle koko erityinen suhteellisuusteoria rakentuu. Jos Anja liikkuu Filippuksen suhteen nopeudella 0,8c, Filippus liikkuu Anjan suhteen samalla nopeudella, eikä kumpikaan voi väittää omaa nopeuttaa "oikeaksi". Nopeus on vain suhteellista.
Suhteellisuusteorian kaksosparadoksi syntyy kun kuvitellaan, että Anja lähtee avaruusmatkalle vaikkapa 8 valovuoden päässä olevaan Siriukseen. Filippus hyvästelee samanikäisen, (erimunaisen) kaksossisarensa Anjan ja jää itse Maahan odottamaan tämän paluuta. Filippus tietää, että nopeudella 0,8c Siriukseen lennetään kymmenessä vuodessa, ja paluumatkaan kuluu aikaa saman verran. Kun Anja sitten palaa pullollaan kertomuksia Siriuksen ihanista hiekkarannoista ja ystävällisistä tarjoilijoista, Filippus on vanhentunut 20 vuotta. Tässä ajassa Anja, joka oli Filippukseen suhteessa liikkeessä, on kuitenkin vanhentunut vain 12 vuotta, ja se näkyy. Anjan kalenterista on revitty sivuja vain 12 vuoden verran, ja Anja itse on selvästi nuorempi kuin Filippus, jolla alkaa olla jo ryppyjä kasvoillaan.
Tämä luonnollisesti katkeroittaa Filippusta. Hän ei päässyt mukaan Siriukseen, ja kaiken lisäksi hän on vanhentunut nopeammin kuin Anja. Miksi, hän kysyy, juuri Anja säilyi nuorekkaana kun suhteellisuusteorian mukaan mikään inertiaalikoordinaatisto ei ole erityisasemassa muiden suhteen? Anjan näkökulmasta hän itse oli paikoillaan ja Filippus liikkui hänen suhteensa nopeudella 0,8c. Miksi Filippuksen kello ei käynyt hitaammin kuin Anjan? Tämä kiperä kysymys tunnetaan nimellä kaksosparadoksi tai kelloparadoksi.
Se että Anja lähtee Maan pinnalta raketin jyristessä ja lieskojen loimutessa sen perästä ei riitä paradoksin vastaukseksi. Voisimmehan kuvitella, että ilkeä postmodernisti, jonka mielestä kaikki kertomukset ovat samanarvoisia, pyrkii todistamaan väitteensä käyttämällä Anjaa ja Filippusta koekaniineina. Hän huumaa uhrinsa niin, että nämä heräävät vasta kun kiihdytysvaihe on takana. Anja ja Filippus voivat todeta vain, että he loittonevat toisistaan nopeudella 0,8c. Inertiaalikoordinaatistoissaan he kumpikin ovat levossa. Anja päättelee, hieman surumielisesti, että koska Filippus liikkuu hänen suhteensa, Filippuksen kello käy hitaammin. Filippus puolestaan toteaa, että Anjan kello käy hitaammin koska juuri Anja näyttää liikkuvan.
Varsinaista ongelmaa ei tässä kuitenkaan ole, sillä -- niin paradoksaaliselta kuin se kuulostaakin -- molemmat ovat tässä vaiheessa oikeassa.
PALJONKO KELLOSI ON?
Kaksosparadoksin populaaritason selitysyritykset ovat lähes järjestään joko harhaanjohtavia tai sitten niin sekavia, että lukija ei niistä tule hullua hurskaammaksi. Erityisen suhteellisuusteorian oppikirjatkaan eivät aina onnistu selittelyissään.
Paradoksi voidaan purkaa auki matemaattisesti tarkastelemalla itseisajan nimellä kulkevaa suuretta, jonka Lorentz-muunnokset jättävät invariantiksi, osoittamalla itseisajan suhde kellojen käyntiin lepokoordinaatistoissa sekä johtamalla kahden integraalin välille tietty epäyhtälö. Formaali selittäminen ei kuitenkaan ole sama asia kuin ymmärrys. Siksi konkreettisin tapa kaksosparadoksin laukaisemiseksi on antaa Anjan ja Filippuksen vertailla kellojaan. Vain sillä tavoin he voivat määrittää kumpi on vanhempi.
Tarkastellaan asiaa ensin Maahan jääneen Filippuksen koordinaatistossa (kts. kuva 2). Kun Anjan lähdöstä on kulunut yksi vuosi, Filippus juhlistaa sitä lähettämällä Anjalle valon nopeudella kulkevan viestin, joka kuittaa sen ilmoittamalla samalla oman kellonsa lukeman. Filippuksen koordinaatistossa viesti saavuttaa Anjan vuonna 5. Tämä lähettää viestin heti takaisin, joten viesti saavuttaa Filippuksen 4 vuotta myöhemmin, vuonna 9.
Lorentz-muunnoksella voimme laskea, että Anjan koordinaatistossa viestin saapuminen oli samanaikainen vuoden 3' kanssa (merkitsen Anjan ajan selvyyden vuoksi pilkullisilla numeroilla). Filippus siis päättelee, että Anja sai signaalin Filippus-vuonna 5. Koska Anjan oma allakka näytti tuolloin vuotta 3', Filippuksen mielestä Anjan kokema aika lyhenee tekijällä 3/5.
Vastaavasti Filippus voi vuonna 2 lähettää Anjalle onnitteluviestin, sillä hän tietää, että Anja saa sen vuonna 10, eli juuri kun hän on saapunut Siriukseen. Lorentz-muunnos kertoo jälleen, että signaalin saapuessa Anjan kello osoittaa vuotta 6'.
Sama ajan ns. dilataatio tekijällä 3/5 jatkuu Anjan kääntyessä paluumatkalle. Esimerkiksi Filippuksen vuonna 11 lähettämä signaali saavuttaa Anjan vuonna 9'. Filippus saa kuittauksen vuonna 19 ja päättelee siis, että Anja sai sen vuonna 15. Kun Anja viimein on taas tukevasti Maan kamaralla, he voivat kelloja vertaamalla todeta, että Anja on vanhentunut 12 vuotta siinä missä Filippus 20.
MITEN NIIN SIRIUKSEEN KUUDESSA VUODESSA?
Tässä vaiheessa aivojen hälytyskellot ovat saattaneet piristä jo jonkin aikaa. Anjan kello näytti vuotta 6' hänen saapuessaan Siriukseen. Mutta eikö Maa-Sirius-etäisyys olekin 8 valovuotta -- kulkiko Anja siis valoa nopeammin?
Suhteellisuusteorian mukaan sekä aika että etäisyydet ovat suhteellisia. Maa-Sirius-etäisyys on 8 valovuotta, mutta vain Maan lepokoordinaatistossa! Lorentz-muunnos kertoo, että mittatikun suhteen liikkuva havaitsija näkee sen lyhyempänä kuin sen suhteen levossa oleva havaitsija. Ilmiötä kutsutaan Lorentz-kontraktioksi. Se koskee luonnollisesti myös Maa-Sirius-etäisyyttä, joka Anjan liikkuvassa koordinaatistossa lyhenee tekijällä 3/5. Toisin sanoen, Anjan mielestä hänen tekemänsä matka on vain 4,8 valovuoden mittainen. Nopeudella 0,8c sen taittamiseen menee tasan 6 vuotta.
Anjan katsannossa hän itse on paikoillaan ja koko muu universumi, ja erityisesti sekä Maa että Sirius, liikkuu. Myös Anja voi lähettää valosignaaleja Filippukselle kellojen vertailemiseksi. Aluksi Filippus etääntyy Anjasta ja kokee Anjan mielestä saman ajan dilataation kuin Anja Filippuksen mielestä. Anjan neljän kuukauden matkan jälkeen eli vuonna 1/3' lähettämä signaali tavoittaa Filippuksen juuri sopivasti vuonna 1 kun tämä valmistautuu lähettämään viestiään Anjalle. Filippuksen kuittaus saavuttaa Anjan vuonna 3', joka päättelee Filippuksen saaneen sen vuonna (1/3'+3')/2 eli vuonna 5/3'. Kun Filippus kuitenkin on vakuuttanut saaneensa viestin vuonna 1, on Filippus siis Anjan mielestä nuorempi tuolla jo tutulla tekijällä 3/5.
Vuonna 2/3' lähetetyn viestin kuittaus saapuu takaisin Anjalle vuonna 6', mutta sen jälkeen tilanne mutkistuu. Anjan lähettää viestejä etääntyvälle Filippukselle, mutta kuittaa niitä kun Filippus jo näyttää lähestyvän häntä. Vuonna 6' Sirius on kuitenkin tullut Anjan luo, ja tuolloin Filippuksen kalenteri luonnollisesti osoittaa vuotta 10.
Tapa, jolla Anja näkee Filippuksen vanhenemisen, on esitetty kuvassa 3. Anjan vuonna 6' lähettämä viesti ("Sirius nähnyt minut ja lähdössä paluumatkalle") saapuu Filippukselle vuonna 18, kuittaus Anjalle vuonna 11 1/3'. Näin Anja järkeilee vuoden 18 olevan samanaikainen vuoden 8 2/3' kanssa. Tämän jälkeen Filippus joutuu odottamaan vielä kaksi vuotta ennen kuin hän näkee Anjan kasvoista kasvoihin. Anjan mielestä aikaa kuluu vielä 3 1/3' vuotta, eli paluumatkalla Anjan mielestä Filippus jälleen vanhenee häntä hitaammin.
Mutta 5 1/3' vuotta, alkaen vuodesta 3 1/3', Filippus näyttää vanhenevan kolme kertaa Anjaa nopeammin!
Kun Anjan ja Filippuksen koordinaatit viimein yhtyvät he voivat kelloja vertailemalla todeta: kaiken tämän vanhemisen ja nuorenemisen summa on, että Anja on kuin onkin nuorempi.
Syykin on selvä: päinvastoin kuin Filippus, Anja on matkan kestäessä vaihtanut inertiaalikoordinaatistoa. Menomatkalla Anjan koordinaatisto on eri kuin tulomatkalla. Tämä vaihto on välttämätön edellytys sille, että Anja ja Filippus ylipäätään voivat verrata kellojaan samassa avaruusaikapisteessä. Muussa tapauksessa he jatkaisivat loittonemistaan kummankin uskoessa, että toisen kello käy omaa kelloa hitaammin.
ONKO KIIHTYVYYS TÄRKEÄÄ?
Erityinen suhteellisuusteoria käsittelee vain koordinaatistoja, jotka liikkuvat toistensa suhteen vakionopeuksilla. Kiihtyvyydet kuuluvat yleisen suhteellisuusteorian puolelle. Reaalitodellisuudessa Anja luonnollisesti kokee kiihtyvyyksiä kolmeenkin otteeseen: kiihdyttäessään rakettinsa Maan pinnalta, vaihtaessaan suuntaa Siriuksessa, ja paluumatkalla jarruttaessaan. Kaksosparadoksia on luonnollisesti tarkasteltu myös yleisen suhteellisuusteorian formalismissa. Kiihtyvyydet eivät kuitenkaan ole oleellisia sen ratkaisun ymmärtämiseksi.
Voisimme kuvitella tilanteen, jossa Anja ei palaakaan Maahan. Sen sijaan hän kohtaa Siriuksessa Ainoan Oikean Uskon Arkkipropagaattorin Qwmmpff III:n, joka nopeudella 0,8c on matkalla valloittamaan Maata ja alistamaan ihmiskuntaa orjuuteensa. Kun he ovat (oleellisesti) samassa avaruusaikapisteessä, Anja kommunikoi kellonsa lukeman ja toteaa -- juuri ennen kuin plasmatorpedot tuhoavat hänen aluksensa -- että Maassa häntä odottaa samana päivänä syntynyt kaksosveli. Kuten kaikki lentomatkustajat, Qwmmpff III synkronisoi oman kellonsa jo etukäteen aikaan, jota hän kuvittelee kohteensa ajaksi. Kuusi' vuotta myöhemmin Maahan saavuttuaan hän ei voi käsittää, miksi Maan kellot näyttävät eri aikaa. Hän epäilee, että kyseessä on jokin kiero juoni, oikea kelloparadoksi. Kenties Maan pelottavat asukit osaavat matkustaa ajassa, Qwmmpff III päättelee ja pakenee Andromedaa kohti jälkipolttimet punaisina.
Hyvällä syyllä voidaan kysyä, mistä Anja ja Filippus sitten loppujen lopuksi tietävät, kumpi vaihtoi inertiaalikoordinaatistoa. Täysin tyhjässä avaruudessa heillä ei olisikaan mitään vertailukohtaa. Siinä tapauksessa vain kiihtyvyysmittaus kertoisi, kumpi heistä koki aitoja voimia ja näin ollen poistui hetkeksi inertiaalikoordinaatistosta. Mutta avaruusmatkailun tapauksessa Sirius antaa Anjalle ja Filippukselle sopivan mittatikun.
Filippus tietää, että Siriuksen etäisyys oli koko ajan 8 valovuotta. Anja puolestaan tietää, että hänen Siriuksensa oli vain 4,8 valovuoden päässä. Sirius kävi hänen luonaan, ja siltä kului edestakaiseen matkaan 12 vuotta. Nyt, kun hän taas istuu keinutuolissa ja kiistelee vanhaan tapaan Filippuksen kanssa suhteellisuusteoriasta, Siriuksen etäisyys on 8 valovuotta. Tästä Anja ymmärtää, että juuri hänen on täytynyt vaihtaa inertiaalikoordinaatistoa ja että juuri hän on vanhentunut hitaammin.