Gå till en förnyad manual!

ANTINGEN S REGNAR DET ELLER S REGNAR DET INTE.

Logikmanual

Innehåll

Inledning
Sanningsteori
Objektspråk och metaspråk
Satslogik
Prerdikatlogik
Traditionell logik
Mängdlära
Begrepp
Litteratur

Övningar
Lösningar

Inledning

Logiken är en lära om reglerna för riktiga slutsledningar. Om vi vet att Sokrates är en människa och vi dessutom vet att alla människor är dödliga, så kan vi med hjälp av logikens regler slutleda oss till att Sokrates är dödlig. Om vi vet att satserna "Finland är republik" och "Helsingfors är Finlands huvudstad" båda är sanna, så kan vi med hjälp av logikens regler dra slutsatsen att även satsen "Finland är republik och Helsingfors är Finlands huvudstad" är sann. Om vi vet att Helsingfors är Finlands huvudstad, så kan vi göra den logiska slutsatsen att Helsingfors är Finlands huvudstad eller Finland är monarki. De logiska slutsatserna grundar sig alltså inte på erfarenhet, utan endast på logiskt tänkande och vissa premisser, som kan vara så väl falska som sanna.

Sanningsteori

En bestämd form av logik betraktas som ett formellt språk. Liksom (påstående) satser i det naturliga språket kan uttrycka sakförhållanden i världen, uttrycker logikens satser påståenden som antingen är sanna eller falska beroende på den värld som påståendena gäller. Vad det betyder att en sats är sann eller falsk (eller ingendera) beror på vilken sanningsteori man utgår ifrån.

Korrenspondensteorin säger att en sats är sann (i en bestämd värld) om det sakförhållande som satsen uttalar råder (i den bestämda världen). Världen som satsen säger någonting om behöver inte vara "vår värld", utan kan vara en högst abstrakt värld eller modell.

En atomär sats p är sann (i en bestämd värld) om och endast om det av satsen p uttryckta sakförhållandet råder (i den bestämda världen). Om de möjliga värdarna utgörs av modeller som är mängder och vars element utgörs av atomära satser, är den atomära satsen sann i modellen M om och endast om p tillhör M. I predikatlogiken är modellerna dock mera komplicerade än så här.

Filosofiskt sett intressantare än sanningsdefinitionen ovan är definitionen på en sann sats eller ett sannt påstående i vår verkliga värld. Satsen "det regnar" anses t.ex. vara sann om och endast om det regnar. Man kan fråga sig om vi här inte har en cirkeldefinition, så att man egentligen bara säger att satsen "det regnar" är sann om och endast om det är sannt att det regnar, eller rent av att satsen "det regnar" är sann om och endast om satsen "det regnar" är sann. Åtminstone är det svårt att se vad man filosofiskt sett vinner på en dylik definition. Sakförhållandet eller faktumet att det regnar har ändå en viss konkret manifestation i det fysiska rummet, men hur är det med sakförhållandet att det regnade igår? Det finns kanske dokumentation och spår kvar av ett regn, men det gör inte "sakförhållandet" att det regnade igår oproblematiskt. Än mera problematiskt är sakförhållandet att det kommer att regna i morgon. Om världen inte är deterministisk, så är ett sakförhållande som gör satsen "det regnar i morgon" sann mycket märkligt. Om det är ett sakförhållande att jag vid en viss tidpunkt kommer att sträcka upp handen, så förefaller jag att genom att inte sträcka upp handen vid denna tidpunkt kunna förändra det förflutnas sakförhållanden. Kanske har jag här t.o.m. uppfunnit en tidsmaskin genom vilken jag kan förändra det förflutna? Trots denna problematik används satser i futurum ofta som exempel i läroböcker i sats- och predikatlogik.

Det kan här även påpekas att (i svenska) samma ordform används i futurum som i presens. T.ex. satsen "Bilen startar" kan ha två betydelser: "bilen startar nu" och "bilen startar senare". Att bilen startar (nu) implicerar därför inte nödvändigtvis att bilen startar (senare) eller vice versa.

Filosofisk är även frågan om förhållandet mellan en (påstående) sats och ett påstående. Logiken befattar sig bara med påstående satser, varför man med satser i logiken uttryckligen förstår propositioner. Man tänker sig dessutom att påståenden alltid uttrycks med hjälp av satser, men då utvidgar man betydelsen av ordet "sats" onaturligt långt. När en linjedomare sträcker upp handen påstår han kanske att bollen var över linjen, men han uttrycker inte nödvändigtvis en sats. Framöver skall vi lika väl inte göra någon distinktion mellan sats och påstående. Det är klart att en fråga eller en uppmaning inte kan vara sann eller falsk i samma mening som ett påstående.

Objektspråk och metaspråk

Om man inte lär sig ett språk den naturliga vägen undervisas man vanligtvis på ett annat språk än det man försöker lära sig. T.ex. kan undervisningsspråket på en kurs i engelska vara svenska, så att engelskans gramatik och uttryck undervisas på svenska. Svenska är då ett metaspråk medan engelskan är objektspråk. Logikens eller det formella språkets (t.ex. en predikatlogik) gramatik definieras med hjälp av metaspråket, som i denna kurs är svenska. Logiska konnektiver i objektspråket (satslogiken och predikatlogiken) har sina motsvarigheter i metaspråket. För att inte förväxla metaspråkets konnektiver med objektspråkets konnektiver använder vi här dubbel pil (Þ, Û) för implikation och ekvivalens i metaspråket och enkla pilar (®, «) för implikation respektive ekvivalens i objektspråket. För ekvivalens i metaspråket används även beteckningen "omm", som är en förkortning av "om och endast om". Med sats- eller predikatlogikens språk kan man inte uttrycka att en sats är sann, fallsk, logiskt sann (tautologisk) eller logiskt falsk.

Satslogik

Satslogik är det samma som propositionslogik. Satslogik studerar förhållandena mellan enkla och sammansatta satser (eller påståenden). Enkla  eller atomära satser förenas till sammansatta eller molekylära satser med hjälp av konnektiven Ø (inte), Ù (och), Ú (eller), ® (om ... så) och « (om och endst om). Sastlogikens alfabet består av logiska konnektiver, atomära satser (eller satsvariabler) samt parenteser.

De logiska konnektiven kan defineras med hjälp av satsers sanninigsvillkor t.ex. på följande sätt:

Satsen Ø P är sann (i modellen M) omm P inte är sann (i modellen M).
Satsen P Ù Q är sann omm både P och Q är sanna.
Satsen P Ú Q är sann omm antingen P eller Q är sann eller både P och Q är sanna.
Satsen P ® Q är sann omm Q är sann eller P inte är sann (eller både P och Q är sanna eller varken P eller Q är sanna).
Satsen P « Q är sann omm både P och Q är sanna eller varken P eller Q är sanna.

Om en sats inte är sann är den (i klassisk logik) falsk. P och Q står här för godtyckliga (enkla eller sammansatta) satser. Uttrycket "omm" är en förkortning för "om och endast om" och tillhör i detta sammanhang metaspråket. Observera att inte heller orden 'inte', 'eller' och 'och' här tillhör objektspråket, d.v.s. satslogiken.

Konnektiven kan även definieras med hjälp av sanningsvärdetabeller.

Alla konnektiv behöver inte vara grundläggande konnektiv. Man kan t.ex. välja negation och konjunktion som grundläggande konnektiv. De övriga konnektiven kan då definieras på följande sätt:

P Ú Q Ûdf Ø(ØP Ù Ø Q)
P ® Q Ûdf Ø(P Ù ØQ)
P « Q Ûdf Ø(P Ù ØQ) Ù Ø (ØP Ù Q)

Man kunde även välja negation och disjunktion som grundläggande konnektiv:

P Ù Q Ûdf Ø(ØP Ú ØQ)
(P ® Q) Ûdf ØP Ú Q
(P « Q) Ûdf Ø(ØP Ú ØQ) Ú Ø(P Ú Q)

En sats kan vara logiskt sann (analytisk), logiskt falsk (kotradiktorisk) eller syntetisk (satisfierbar och motsägbar). Alla logiskt sanna satser är satisfierbara, medan alla logiskt falska satser är motsägbara. Ett annat namn för en logisk sanning är tautologi. En tautologi är sann i alla möjliga världar, medan en kontradiktion är falsk i alla möjliga världar. En syntetisk sats kan vara sann i en värld men falsk i en annan. Endast syntetiska satser ger information om världen. Man säger att den logiska sanningens deskriptiva innehåll är tomt.

Liksom det finns gramatikaliska regler för hur svenska satser får bildas, finns det välbildningsregler för hur satslogikens satser kan bildas. Atomära satser är (välbildade) satser (i satslogiken). Om P och Q är (välbildade) satser är följande teckenföljder (välbildade) satser:

  1. ØP
  2. (P Ù Q)
  3. (P Ú Q)
  4. (P ® Q)
  5. (P « Q)

T.ex. om p och q är atomära satser, så är satsen (p Ù q) ® p en välbildad sats, eftersom (p Ù q) är en välbildad sats enligt modell 2 och satsen (p Ù q) ® p därmed är en välbildad sats enligt modell 4.

Liksom matematiska formler för entydighetens skull kan kräva parenteser, kan satslogikens satser kräva parenteser, som visar i vilken ordningsföljd konnektiven opererar. Liksom vissa parenteser kan utelämnas från matematiska formler, kan vissa parenteser utelämnas från satslogikens satser enligt bestämda regler. Detta är visserligen en fråga om konvention, men vanligtvis följer man följande regler.

  1. Parenteser kring en fristående sats kan utelämnas.
  2. Parenteser kring en negation kan utelämnas.
  3. Parenteser kring disjunktioner och konjunktioner kan utelämnas då de förekommer som led i en implikation eller ekvivalens.

Man säger att negationen är det starkaste konnektivet. Konjunktion och disjunktion är sinsemellan lika starka, men starkare än implikation och ekvivalens. Om parentestecknena inte annat visar, så opererar det starkaste konnektivet först och det svagaste sist. Det konnektiv som opererar sist kallas satsens huvudkonnektiv. En sammansatt sats kan klassifieras enligt dess huvudkonnektiv, så att t.ex. en sats där konjunktionen (och) opererar sist kallas konjuktion.

Tautologier är logiskt sanna satser, vars sanningsvärde är oberoende av sanningsvärdena för satsens argument (de enkla satser som ingår i satsen). En tautologi är sann i alla möjliga världar eller modeller. Vissa tautologier kallas även teorem eller logiska lagar. Om sanningsvärdetabellerna för satserna P och Q har samma sista kolumn, så förekommer det endast s i sanningsvärdetabellen för satsen "P « Q", vilket betyder att ekvivalensen är en tautologi. Om satsen "P « Q "är en tautologi och satsen P är längre eller mera komplicerad än satsen Q, så kan man förkorta satsen P så att man på dess ställe skriver satsen Q. Att satsen "P « Q" är en tautologi kan vi i metaspråket uttrycka P Û Q. Att satsen "P ® Q" är tautolog kan vi på motsvarande sätt uttrycka P Þ Q.

Om satsen "P « Q" är en tautologi, så är även satserna "P ® Q" och "Q ® P" tautologier. En implikation som är en tautologi motsvaras av en härledningsregel. Således är t.ex. Modus ponens inte bara namnet på en tautologi, utan även namnet på en logisk slutledning. Om P ® Q är en tautologi, så är även slutledningen "P, alltså Q" giltig och vice versa. Vi kunde komma överens om att om "P ® Q" är en tautologi, så för vi från P sluta oss till Q. Ett logiskt språk eller dess bevisteori behöver dock inte godkänna alla "tautologa" slutledningar. I Hilberts bevisteori är endast slutledningsregeln Modus ponens tillåten. (Där till används ett antal axiom, som inte bevisas, men som är tautologier och kan bevisas vara tautologier med hjälp av sanningsvärdetabeller.)  I det naturliga slutledningssystemet är flera slutledningsregler tillåtna. Logiska slutledningar är alltid deduktiva. Det diskriptiva innehållet i slutsatserna är alltid mindre eller lika stort som det totala diskriptiva innehållet i premisserna.

Om R följer från Q och Q följer från P, så följer R från P. Deduktionsteoremet säger vidare att "Q ® R" följer ur P omm R följer från P och Q. Ett specialfall av denna regel är den ovannämnda regeln att Q följer från P omm "P ® Q" är en tautologi. Att en sats är tautolog betyder att den följer från en tom satsmängd eller vilken sats som hälst.

Om den atomära satsen p ingår i en tautologi och man koncekvent byter ut p mot en godtycklig sats Q får man en ny tautologi. Ekvivalensen mellan två tautologier är alltid en tautologi, varför man i en härledning kan byta ut tautologier mot varandra. När man i detta fall byter ut p mot Q säger man att man substituerar p med Q. I praktiken är Q i detta fall en längre sats än p. Från tautologin "p « p" kan vi med hjälp av substitution (Øp för p) bevisa att satsen "Øp « Øp" är en logisk sanning. I slutledningar kan man använda sig av tautologier så att man till de övriga premisserna (vars antal kan vara noll) lägger till en eller flera tautologier. (Tautologier kan man, liksom ovan nämnts, slutleda från vilka premisser som hälst eller ingen premiss alls.) T.ex. disjunktionens distributionslag är inte en slutledningsregel, utan en logisk lag. Vill man strikt använda sig endast av tillgängliga slutledningsregler kan man anta t.ex. tautologin "(p Ù q) Ú r ® (p Ú r) Ù (q Ú r)" (disjunktionens distributionslag). Ur premisserna "(p Ù q) Ú r ® (p Ú r) Ù (q Ú r)" och "(p Ù q) Ú r" följer med tillämpning av modus ponens slutsatsen "(p Ú r) Ù (q Ú r)". Allstå kan man ur "(p Ù q) Ú r" härleda "(p Ú r) Ù (q Ú r)". Det enklare, men mindre formella sättet, är att härleda "(p Ú r) Ù (q Ú r)" direkt ur "(p Ù q) Ú r" med stöd av tautologin "(p Ù q) Ú r ® (p Ú r) Ù (q Ú r)". Om P ® Q, så kan man ur P sluta sig till Q.

Predikatlogik

Predikatlogiken studerar bl.a. s.k. allsatser och existenssatser. Predikatlogiken är en utvidgning av satslogiken. I predikatlogiken delas satser upp i subjekt och predikat (eller predikatform). Om p(x) står för predikatet "x är filosof" och a står för subjektet Sokrates, står p(a) för "Sokrates är filosof". Satsen "Alla är filosofer" kan enligt denna nyckel översättas till "xp(x) och satsen "Någon är filosof" (eller "Det existerar minst en filosof") till $xp(x). Formeln "p(x)" r inte i sig en sats.

Predikatlogikens alfabet består förutom av logiska konnektiv och parentestecken även av termer (variabler och konstanter), predikat (eller predikatformer), alloperator (universaloperator) och existensoperator. Därtill kan predikatlogikens alfabet utökas med identitetssybol (º).

I satslogiken gäller enligt de Morgans lag att Ø(P Ù Q) Û ØP Ú ØQ och ØØ(P Ù Q) Û Ø( ØP Ú ØQ). (Den dubbla ekvivalenspilen säger att satsen "Ø(P Ù Q) « ØP Ú ØQ" respektive "ØØ(P Ù Q) « Ø(ØP Ú ØQ)" är tautologier.) Dubbla negationens lag ger oss således ekvivalensen P Ù Q Û Ø(ØP Ú ØQ). Likaledes gäller P Ù Q Ù R Û Ø(ØP Ú ØQ Ú ØR) och allmänt P1 Ù P2 Ù ... Ù Pn Û Ø (ØP1 Ú ØP2 Ú ... Ú ØPn). I predikatlogiken gäller därmed p(c1) Ù p(c2) Ù ... Ù p(cn) Û Ø(Øp(c1) Ú Øp(c2) Ú ... Ú Øp(cn)), där n är ett godtyckligt naturligt tal. Såvida antalet individer i samtalsdomänet är ändligt innebär detta att "xp(x) Û Ø$xØp(x). I fall antalet individer i samtalsdomänet är oändligt kan denna sats inte entydigt bevisas. Istället brukar man bestämma enligt definition att "xp(x) Û Ø$xØp(x). Därav gäller även "(x)Øp(x) Û Ø$(x)p(x), Ø"(x)Øp(x) Û $(x)p(x) och Ø"xp(x) Û $xØp(x).

Om p(x) står för x är filosof kan t.ex. satsen "Alla är filosofer om och endast om det inte finns någon icke-filosof" översättas till "(x)p(x) « Ø$(x)Øp(x). Ifall man inte uttryckligen talar om människor är det absurt att säga att alla är filosofer. Om man inte uttryckligen begränsar samtalsdomänen till människor blir det vettigare om man byter ut den ovannämda satsen mot följande: Alla människor är filosofer om och endast om det inte finns någon människa som inte är filosof. Denna sats kan på motsvarande sätt uttryckas i fölnjande sats, där p(x) står för att x är filosof och r(x) står för att x är människa: "x(r(x) ® p(x)) « Ø$x(r(x) Ù Øp(x)).

Observera att satsen "alla människor är filosofer" inte kan översättas med satsen ""x(r(x) Ù p(x))", som istället säger att alla är människor och filosofer.

Traditionell logik

Med traditionell logik förstår man närmast det samma som Aristoteles logik och utveckling av denna. Den traditionella logiken handlar främst om rätta slutledningar. Dessa slutledningar går inte att göra med hjälp av satslogik, men däremot motsvaras de av slutledningar i predikatlogiken. Långt ifrån alla den traditionella logikens slutledningar är dock giltiga i predikatlogiken. De viktigaste typerna av satser i satslogiken är följande:

a Alla människor är filosofer.
e Ingen människa är filosof.
i Några människor är filosofer.
o Några människor är inte filosofer.

Typbeteckningarna a, e, i och o är av medeltida ursprung.

Satserna ovan kan till predikatlogikens språk översättas så att de lyder:

"x(M(x) ® F(x))
Ø$x(M(x) Ù F(x))
$x(M(x) Ù F(x))
$x(M(x) Ù ØF(x))

Traditionell logik är inte nödvändigtvis det samma som klassisk logik. Med klassisk logik kan man även förstå modern logik som endast tillåter två sanningsvärden: sannt och falskt.

Mängdlära

Mängdlära lär man sig i matematiken, men även den moderna logiken bygger på mängdlära. Det finns ingen skarp gräns mellan matematisk och filosofisk logik eller mellan logik och matematik. I "suddig logik" (fuzzy logic) behöver mängdens extension inte vara entydig. Hur kan man bestämma omfånget av mängden av alla skalliga? Var skall man dra gränsen mellan att vara skallig och inte vara skallig? Ändå är skallighet jämfört med många andra begrepp ett relativt entydigt begrepp.

Satslogiken och isynnerhet predikatlogiken baserar sig på mängdlära, men mängdläran baserar sig i sin tur på sats- och predikatlogik. Exempelvis är individerna i ett samtalsdomän eller i ett "universum" element i en mängd. En mängd består alltid av element, med undantag av toma mängden som saknar element.

Begrepp i mängdläran definieras med hjälp av logiska konnektiv:

x Î A È B Û x Î A Ú x Î B
x Î A Ç B Û x Î A Ù x Î B
A Í B Û x Î A ® x Î B

Begrepp

Ett begrepp förväntas ha en intension (ett innehåll) och en extension (ett omfång). I skolastisk filosofi definieras begrepp enligt principen definito per genus proximum et differentiam specificam, eller på basen av det närmaste underliggande (allmännare) begreppet och det specifika innehållet. De egenskaper som gör att ett bestämt ting tillhör omfånget av ett visst begrepp kallas tingets väsen eller essens.

Matematiska och naturvetenskapliga begrepp kan vara entydiga, men ofta är begrepp högst mångtydiga eller diffusa. Hur många gråa hårstrån måste man ha för att vara gråhårig? I den s.k. klassiska logiken befattar man sig inte med begreppens mångtydighet eller luddighet. Men inte ens den "suddiga logiken" klarar av alla suddiga begrepp. Man kan vara mera eller mindre gråhårig och mera eller mindre skallig, men kan man vara mera eller mindre svensk? Vad har en etniskt afrikansk svensk medborgare bosatt i Sverige gemensamt med en svenskspråkigfinländare bosatt i Finland? Jo båda är svenska. Ändå behöver de inte dela några gemensamma egenskaper som gör dem båda till svenskar. Den typiska svensken är svensk medborgare, bosatt i Sverige och har svenska som modersmål. Sedan finns det svenskar som delar bara en del av den typiska svenskens svenska egenskaper. Här kunde man kanske säga att det finns flera olika begrepp med namnet 'svensk', men det är inte så som det naturliga språket fungerar. Begrepp utvidgas än åt det ena hållet, än åt det andra. I verklig argumentation utvidgas ofta begrepp på retoriska grunder.

Litteratur

I kursfodringarna för kursen i logik (Ffi150) omnämns följande läroböcker:

Bertil Mårtensson: Logik - En introduktion
Erik Stenius: En filosofisk grundkurs i symbolisk logik
Stephen Read: Att tänka på logik
D.N. Waton: Informal Logic - A Hanbook for Critical Argumentation


Tillbaka till början

Övningar
Lösningar

Ralf Wadenström
Helsingfors universitet
Filosofiska institutionen

Korrigera stavfel och andra fel!