Lösningar

Lösningar till logikövning 6

Denna övning blev ett monster. Att intuitivt avgöra vilka slutsatser som följer ur premisserna är inte så svårt,men att strikt följa slutledningsreglerna är detta fall en krävande uppgift. Nedan skall jag ändå steg för steg grunda slutsatsernapå slutledningsregler. För att göra det hela lite enklare antar jag vissa tautologier. Detta är inte tillåtet a alla system, men tautologier (i satslogiken) kan i princip alltid härledas.

Följande slutsatser kan man göra på basen av de givna premisserna: 1, 2, 3, 5, 8, 9

Det är en sorglig men fullt giltig slutsats att Stinas gamla mor dör i hjärtatack. Av premisserna 2 och 12 följer (modus ponens) att Ollilas sekreterare blir smittad. Av premiss 2 och av att Ollilas sekreterare blir smittad" följer (modus ponens) att Ollila får ont i halsen. Av att Ollila får ont i halsen följer (negationens introduktionsregel) att det är inte så att Ollila inte får ont i halsen. Premiss 4 kan omskrivas (enligt satslogikens tolkning) så att den lyder: Om Ollila gör ett bra intryck på presskonferensen, så får han inte ont i halsen. Av premiss 4 och av att det inte är så att Ollila inte får ont i halsen följer nu (modus tollendo tollens) att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen. Av premiss 5 och av att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen följer (modus tollendo ponens) att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 % följer att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons (eller alla fyras) aktiekurs sjunker med minst (över) 15 %. Av detta och av att Nokias aktiekurs sjunker med minst 15 % följer (konjunktionens introduktionslag) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons aktiekurs sjunker med minst 15 %, samt att Nokias aktiekurs sjunker med minst 15 %. Av detta följer (konjunktionens distributionslag) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures samt Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %, eller att Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (disjunktionens distributationslag) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %, samt att F-Secures och Nokias eller Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (konjunktionens elimineringsregel) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %. Av premiss 7 och av att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 % följer (modusponens) att investerarna förlorar förtroendet för finska teknologiaktier (slusats 3). Av detta följer (negationens introduktionsregel) att det inte är så att investerarna inte förlorar förtoendet för finska teknologiaktier. Av premiss 8 och av att det inte är så att investerarna inte förlorar förtoendet för finska teknologiaktier följer (modus tollendo ponens) att Finland genomgår en ny ekonomisk kris. Premiss 9 kan omskrivas så att den lyder: "Om Stina behåller sin arbetsplats, så genomgår Finland inte en ny ekonomisk kris". Av att Finland genomgår en ny ekonomisk kris följer (negationens introduktionsregel) att det inte är så att Finland inte genomgår en ny ekonomisk kris. Av premisserna "om Stina behåller sin arbetsplats, så genomgår Finland inte en ny ekonomisk kris" och "det är inte så att Finland inte genomgår en ny ekonomisk kris" följer (modus tollendo tollens) att Stina inte behåller sin arbetsplats. Av premiss 10 och av att Stina inte behåller sin arbetsplats följer att Stina blir tvungen att sälja sin lokal. Av premiss 11 och av att Stina blir tvungen att sälja sin lokal följer slutligen (modus ponens) att Stinas gamla mor dör i hjärtatack (slutsats 1).

Om påståendet att Stinas gamla mor dör i hjärtatack är sannt, så är implikationen "om det kittlar i näsan, så dör Stinas gamla mor i hjärtatack" sann oberoende om det kittlar i näsan eller inte. Om efterleden följer av de givna premisserna, följer även implikationen (slutsats 2) av premisserna. (Satsen "(P ® (Q ® P)" är en tautologi. Alltså kan man från P härleda "Q ® P".) Vi har ovan konstaterat att implikationens efterled följer av de givna premisserna. Vi kunde även antaga premissen "det kittlar i näsan" och visa att av detta samt av premisserna 1 - 12 (eller 1 - 11) följer att Stinas gamla mor dör i hjärtatack. Därmed kunde vi göra slutsatsen att det kittlar i näsan implicerar att Stinas gamla mor dör i hjärtatack. Det är nämligen så att implikationen P ® Q följer ur å om och endast om Q följer ur å och P, d.v.s. å È {P}, där å är en mängd av satser eller premisser.

Att investerarna förlorar förtroendet för finska teknologiaktier (3) har vi redan kunnat konstatera (eller snarare att denna fatala slutsats följer ur premisserna), men vi kan ta det om på nytt: Av premisserna 2 och 12 följer (modus ponens) att Ollilas sekreterare blir smittad. Av premiss 2 och att Ollilas sekreterare blir smittad följer (modus ponens) att Ollila får ont i halsen. Av att Ollila får ont i halsen följer (negationens genereringsregel) att det är inte så att Ollila inte får ont i halsen. Premiss 4 kan omskrivas (enligt satslogikens tolkning) så att den lyder: Om Ollila gör ett bra intryck på presskonferensen, så får han inte ont i halsen. Av premiss 4 och av att det inte är så att Ollila inte får ont i halsen följer nu (modus tollendo tollens) att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen. Av premiss 5 och av att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen följer (modus tollendo ponens) att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 % följer att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons (eller alla fyras) aktiekurs sjunker med minst 15 %. Av detta och av att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 % följer (konjunktionens introduktionsregel) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons aktiekurs sjunker med minst 15 %, samt att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (konjunktionens distributionslag) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures samt Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %, eller att Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med minst 15 %. Av detta följer (disjunktionens distributationslag) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %, samt att F-Secures och Nokias eller Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (konjunktionens elimineringsregel) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %. Av premiss 7 och av att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 % följer (modus ponens) att investerarna förlorar förtroendet för finska teknologiaktier (slusats 3).

Vi har redan konstaterat att om det kittlar i näsan, så dör Stinas gamla mor i hjärtatack. Vi har även kunnat konstatera att Stinas gamla mor dör i hjärtatack. Av detta följer dock inte att det kittlar i näsan, eller att Stinas gamla mor dör i hjärtatack implicerar att det kittlar i näsan. Det är dock möjligt att det kittlar i näsan.

Vi har ovan kunnat konstatera att att Finland genomgår en ny ekonomisk kris följer ur de givna premisserna, men vi tar om det på nytt: Av premisserna 2 och 12 följer (modus ponens att Ollilas sekreterare blir smittad. Av premiss 2 och av att Ollilas sekreterare blir smittad följer (modus ponens) att Ollila får ont i halsen. Av att Ollila får ont i halsen följer (negationens introduktionsregel) att det är inte så att Ollila inte får ont i halsen. Premiss 4 kan omskrivas (enligt satslogikens tolkning) så att den lyder: Om Ollila gör ett bra intryck på presskonferensen, så får han inte ont i halsen. Av premiss 4 och av att det inte är så att Ollila inte får ont i halsen följer nu (modus tollendo tollens) att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen. Av premiss 5 och av att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen följer (modus tollendo ponens) att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 % följer att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons (eller alla fyras) aktiekurs sjunker med minst 15 %. Av detta och av att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 % följer (konjunktionens introduktionsregel) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons aktiekurs sjunker med minst 15 %, samt att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (konjunktionens distributionslag) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures samt Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %, eller att Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med minst 15 %. Av detta följer (disjunktionens distributationslag) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %, samt att F-Secures och Nokias eller Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (konjunktionens elimineringsregel) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %. Av premiss 7 och av att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 % följer (modud ponens) att investerarna förlorar förtroendet för finska teknologiaktier (slusats 3). Av detta följer (negationens introduktionsregel) att det inte är så att investerarna inte förlorar förtoendet för finska teknologiaktier. Av premiss 8 och av att det inte är så att investerarna inte förlorar förtoendet för finska teknologiaktier följer (modus tollendo ponens) att Finland genomgår en ny ekonomisk kris. Således följer även implikationen "om Stinas gamla mor dör i hjärtatack, så genomgår Finland en ny ekonomisk kris" ur de givna premisserna oberoende om förleden följer ur premisserna eller inte. (Även implikationen "om Stinas gamla mor inte dör i hjärtatack, så genomgår Finland en ny ekonomisk kris" följer ur premisserna.) Vi kunde även här antaga att Stinas gamla mor dör i hjärtatack och på basen av denna premiss och de övriga givna premisserna göra slutsatsen att Finland genomgår en ny ekonomisk kris. Här av följer nu att slutsatsen "om Stinas gamla mor inte dör i hjärtatack, så genomgår Finland en ny ekonomisk kris" (slutsats 5) följer ur premisserna 1 - 12. (Om en slutsats P följer ur de premisser som ingår i å , så följer den även ur de premisser som ingår i å È {Q}, där Q är en godtycklig sats. Och om P följer ur å È {Q}, så följer Q ® P ur å.

Att Soneras och Elisa Communications aktiekurs sjunker med över 15 % kan vi inte slutleda oss till. Visserligen kan vi göra slutsatsen att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons (eller alla fyras) aktiekurs sjunker med minst 15 %, men av detta kan vi inte göra slutsatsen att Soneras och Elisa Communications aktiekurs sjunker med över 15 % eller ens att Soneras, Elisa Communications och F-Secures aktiekurs sjunker med minst 15 %. (Från "P Ú P" kan vi härleda P, men från "P Ú Q" kan vi inte härleda P. Här räcker det alltså inte att man från P Ù Q Ù R kan härleda P Ù Q.)

Eftersom att Stina inte behåller sin arbetsplats följer ur de givna premisserna, vilkert vi konstaterat ovan, följer att Stina inte behåller sin arbetsplats även från de givna premisserna och från att Ollila sekreterare blir smittad. Därför följer att att Ollilas sekreterare blir smittad implicerar att Stina inte behåller sin arbetsplats. Vill vi kan vi på nytt slutleda att Stina inte behåller sin arbetsplats även från de givna premisserna: Av premisserna 2 och 12 följer (modus ponens) att Ollilas sekreterare blir smittad. Av premiss 2 och Ollilas sekreterare blir smittad" följer (modus ponens) att Ollila får ont i halsen. Av att Ollila får ont i halsen följer (negationens introduktionsregel) att det är inte så att Ollila inte får ont i halsen. Premiss 4 kan omskrivas (enligt satslogikens tolkning) så att den lyder: Om Ollila gör ett bra intryck på presskonferensen, så får han inte ont i halsen. Av premiss 4 och av att det inte är så att Ollila inte får ont i halsen följer nu (modus tollendo tollens) att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen. Av premiss 5 och av att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen följer (modus tollendo ponens) att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 % följer att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons (eller alla fyras) aktiekurs sjunker med minst 15 %. Av detta och av att Nokias aktiekurs sjunker med minst (eller över) 15 % följer (konjunktionens introduktionsregel) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons aktiekurs sjunker med minst 15 %, samt att Nokias aktiekurs sjunker med minst 15 %. Av detta följer (konjunktionens distributionslag) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures samt Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %, eller att Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (disjunktionens distributationslag) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %, samt att F-Secures och Nokias eller Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (konjunktionens elimineringsregel) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %. Av premiss 7 och av att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 % följer (modus ponens) att investerarna förlorar förtroendet för finska teknologiaktier (slusats 3). Av detta följer (negationens introduktionsregel) att det inte är så att investerarna inte förlorar förtoendet för finska teknologiaktier. Av premiss 8 och av att det inte är så att investerarna inte förlorar förtoendet för finska teknologiaktier följer (modus tollendo ponens) att Finland genomgår en ny ekonomisk kris. Premiss 9 kan omskrivas så att den lyder: "Om Stina behåller sin arbetsplats, så genomgår Finland inte en ny ekonomisk kris". Av att Finland genomgår en ny ekonomisk kris följer (negationens introduktionsregel) att det inte är så att Finland inte genomgår en ny ekonomisk kris. Av premisserna "om Stina behåller sin arbetsplats, så genomgår Finland inte en ny ekonomisk kris" och "det är inte så att Finland inte genomgår en ny ekonomisk kris" följer (modus tollendo tollens) att Stina inte behåller sin arbetsplats. Ett annat sätt att bevisa att slutsatsen "Stina behåller inte sin arbetsplats" följer ur premissen "Ollilas sekreterare blir smittad" är att först anta att Ollila sekreterare blir smittad: Av premiss 2 och av att Ollilas sekreterare blir smittad" följer (modus ponens) att Ollila får ont i halsen. Av att Ollila får ont i halsen följer (negationens introduktionsregel) att det är inte så att Ollila inte får ont i halsen. Premiss 4 kan omskrivas (enligt satslogikens tolkning) så att den lyder: Om Ollila gör ett bra intryck på presskonferensen, så får han inte ont i halsen. Av premiss 4 och av att det inte är så att Ollila inte får ont i halsen följer nu (modus tollendo tollens) att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen. Av premiss 5 och av att Ollila inte gör ett bra intryck på presskonferensen följer (modus tollendo ponens) att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av att Nokias aktiekurs sjunker med över 15 % följer att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons (eller alla fyras) aktiekurs sjunker med minst 15 %. Av detta och av att Nokias aktiekurs sjunker med minst (eller över) 15 % följer (konjunktionens introduktionslag) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures eller Benefons aktiekurs sjunker med minst 15 %, samt att Nokias aktiekurs sjunker med minst 15 %. Av detta följer (konjunktionens distributionslag) att antingen Soneras, Elisa Communications och F-Secures samt Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %, eller att Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (disjunktionens distributationslag) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %, samt att F-Secures och Nokias eller Benefons och Nokias aktiekurs sjunker med över 15 %. Av detta följer (konjunktionens elimineringsregel) att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 %. Av premiss 7 och av att Soneras och Elisa Communications eller Nokias och Benefons aktiekurs sjunker med över 15 % följer (modus ponens) att investerarna förlorar förtroendet för finska teknologiaktier (slusats 3). Av detta följer (negationens introduktionsregel) att det inte är så att investerarna inte förlorar förtoendet för finska teknologiaktier. Av premiss 8 och av att det inte är så att investerarna inte förlorar förtoendet för finska teknologiaktier följer (modus tollendo ponens) att Finland genomgår en ny ekonomisk kris. Premiss 9 kan omskrivas så att den lyder: Om Stina behåller sin arbetsplats, så genomgår Finland inte en ny ekonomisk kris. Av att Finland genomgår en ny ekonomisk kris följer (negationens introduktionsregel) att det inte är så att Finland inte genomgår en ny ekonomisk kris. Av premisserna "om Stina behåller sin arbetsplats, så genomgår Finland inte en ny ekonomisk kris" och "det är inte så att Finland inte genomgår en ny ekonomisk kris" följer (modus tollendo tollens) att Stina inte behåller sin arbetsplats. Eftersom  slutsatsen "Stina behåller inte sin arbetsplats" följer ur  antagandet att Ollilas sekreterare blir smittad och de givna prermisserna (av vilka endast en del behöver användas) följer slutsatsen "om Ollilas sekreterare blir smittad, så behåller Stina inte sin arbetsplats" från de givna premisserna.

Slutsats 8 kan omskrivas så den lyder: Om Andersson säljer sina Nokiaaktier, så nyser Stina i bussen. Att Stina nyser i bussen följer ur premiss 12. Att Stina nyser i bussen följer därmed även ur premisserna att Stina nyser i bussen (premiss 12) och att Andersson säljer sina Nokiaaktier. Således följer att slutsatsen "om Andersson säljer sina Nokiaaktier, så nyser Stina i bussen" (slutsats 8) ur premiss 12 (eller ur de givna premisserna).

Slutsats 9 kan härledas på ett likadant sätt som slutsats 8: Slutsats 9 kan omskrivas så den lyder: Om Andersson behåller sina Nokiaaktier, så nyser Stina i bussen. Att Stina nyser i bussen följer ur premiss 12. Att Stina nyser i bussen följer därmed även ur premisserna "Stina nyser i bussen" (premiss 12) och "Andersson behåller sina Nokiaaktier". Således följer slutsatsen "om Andersson behåller sina Nokiaaktier, så nyser Stina i bussen" (slutsats 8) ur premiss 12 (eller ur de givna premisserna).

Slutsats 10 kan inte härledas ur de givna premisserna. Av premisserna "om Andersson säljer sina Nokiaaktier, så nyser Stina i bussen" och av "Stina nyser i bussen kan" man inte dra slutsatsen att Andersson säljer sina Nokiaaktier. En annan sak är att om..., så...-satser i det naturliga språket ofta syftar på en ekvivalens.

Till övningar
Till löningar